(4) $y = \sqrt{1 - x^2}$ と (5) $y = (2x - 3)\sqrt{2x - 3}$ の微分を求める問題です。

1. 問題の内容

(4) $y = \sqrt{1 - x^2}$ と (5) $y = (2x - 3)\sqrt{2x - 3}$ の微分を求める問題です。

2. 解き方の手順

(4) $y = \sqrt{1 - x^2}$ の場合：

* まず、$y$ を $u = 1 - x^2$ の関数として表すと、$y = \sqrt{u} = u^{\frac{1}{2}}$ となります。

* 連鎖律（chain rule）を用いて微分します。連鎖律は、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ で表されます。

* $\frac{dy}{du} = \frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ となります。

* $\frac{du}{dx} = -2x$ となります。

* したがって、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot (-2x) = \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$ となります。

(5) $y = (2x - 3)\sqrt{2x - 3}$ の場合：

* $y = (2x - 3)\sqrt{2x - 3} = (2x - 3)^1 (2x - 3)^{1/2} = (2x - 3)^{3/2}$

* 合成関数の微分と考えます。$y = u^{3/2}, u = 2x-3$ とすると、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

* $\frac{dy}{du} = \frac{3}{2}u^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{u} = \frac{3}{2}\sqrt{2x - 3}$

* $\frac{du}{dx} = 2$

* $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}\sqrt{2x - 3} \cdot 2 = 3\sqrt{2x - 3}$

3. 最終的な答え

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

(5) $\frac{dy}{dx} = 3\sqrt{2x - 3}$