与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与式を $a$ について整理する。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = a^3(b-c) - a(b^3 - c^3) + b^3c - bc^3$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2 + bc + c^2) + bc(b^2 - c^2)$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2 + bc + c^2) + bc(b-c)(b+c)$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2 + bc + c^2) + bc(b+c)]$

$= (b-c)[a^3 - ab^2 - abc - ac^2 + b^2c + bc^2]$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2 + bc + c^2) + bc(b+c)]$

ここで、$a=b$ を代入すると

$b^3 - b(b^2 + b^2 + c^2) + b^2c + bc^2 = b^3 - b^3 - b^3 - bc^2 + b^2c + bc^2 = -b^3 + b^2c = b^2(c-b)$

これはゼロにならないので、$a-b$ を因数に持たない。

与式を $a$ について整理すると、

$a^3(b-c) + b^3c - ab^3 + ac^3 - bc^3 = a^3(b-c) - a(b^3-c^3) + b^3c - bc^3$

$= a^3(b-c) - a(b-c)(b^2+bc+c^2) + bc(b^2-c^2) = (b-c)[a^3 - a(b^2+bc+c^2) + bc(b+c)]$

$= (b-c)[a^3 - a(b^2+bc+c^2) + b^2c+bc^2]$

ここで、$a=b$ を代入すると

$b^3 - b(b^2+b^2+c^2) + b^2c+bc^2 = b^3 - b^3 -b^3 -bc^2 + b^2c + bc^2 = -b^3 + b^2c = b^2(c-b)$

これはゼロとならないため、$a-b$ を因数に持たない。

$a-c$ を因数に持つかどうかを検討する。

$a=c$を代入すると

$c^3(b-c) - c(b^3 - c^3) + b^3c - bc^3 = c^3b - c^4 - b^3c + c^4 + b^3c - bc^3 = c^3b - bc^3 = 0$

よって、$a-c$を因数に持つ。

同様に、$b-a$を因数に持つことを示すことができる。

対称性から、$c-b$を因数に持つこともわかる。

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

3. 最終的な答え

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b) = -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

または

$(a-b)(b-c)(c-a)(-a-b-c)$

$(a-b)(b-c)(c-a)(-(a+b+c))$

$a^3(b-c) + b^3(c-a) + c^3(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

は正しい。

しかし、画像の問題は次数が異なる。

$a(b-c) + b(c-a) + c(a-b)=ab-ac+bc-ab+ac-bc=0$

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$

$a^2(b-c) + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

$a^2(b-c) - a(b^2 - c^2) + bc(b-c)$

$(b-c)(a^2 - a(b+c) + bc)$

$(b-c)(a-b)(a-c)$

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a-b)(b-c)(c-a)$

$(a-b)(c-b)(a-c)$

-(a-b)(b-c)(c-a)

最終的な答え：

$-(a-b)(b-c)(c-a)$