SENSEI AI
About App

問題10は、$x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}$ であることを示す問題です。

解析学陰関数微分微分指数
2025/6/30

1. 問題の内容

問題10は、x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 のとき、dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}} であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、x23+y23=1x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1 を xx について陰関数微分します。
23x−13+23y−13dydx=0\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = 0
次に、dydx\frac{dy}{dx} について解きます。
23y−13dydx=−23x−13\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}
dydx=−x−13y−13\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{-\frac{1}{3}}}{y^{-\frac{1}{3}}}
dydx=−y13x13\frac{dy}{dx} = -\frac{y^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}
dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}

3. 最終的な答え

dydx=−(yx)13\frac{dy}{dx} = -(\frac{y}{x})^{\frac{1}{3}}

「解析学」の関連問題

与えられた関数の第n次導関数を求める問題です。 (1) $y=e^{2-x}$ (2) $y=x^n$ (3) $y=xe^x$

微分導関数数学的帰納法指数関数
2025/6/30

定積分 $\int_{-2}^{2} (x-1)(2x^2 - 3x + 1) dx$ を計算する。

定積分積分多項式偶関数奇関数
2025/6/30

平均値の定理を用いて、$a < b$ のとき、$e^a < \frac{e^b - e^a}{b - a} < e^b$ を証明する。

平均値の定理指数関数微分単調増加
2025/6/30

与えられた関数と区間について、平均値の定理を満たす $c$ の値を求める。具体的には以下の2つの問題がある。 (1) $f(x) = x^3 - 3x^2$, 区間 $[-2, 1]$ (2) $f(...

平均値の定理微分指数関数対数関数
2025/6/30

2つの曲線 $y = x^2 - 3$ と $y = \frac{a}{x}$ が共有点Pをもち、点Pにおいて共通の接線をもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。また、共有点Pの座標を求めよ。

微分接線曲線連立方程式
2025/6/30

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{1}{3}a_n + 1$ ($n=1, 2, 3, \dots$) で定義されるとき、この数列の極限 $\...

数列極限漸化式等比数列
2025/6/30

平均値の定理を満たす点 $c$ を求める問題です。平均値の定理は、ある区間 $[a, b]$ で連続かつ $(a, b)$ で微分可能な関数 $f(x)$ に対して、 $$ \frac{f(b) - ...

平均値の定理微分導関数
2025/6/30

関数 $f(x) = x^3$ と区間 $[1, 3]$ について、平均値の定理を満たす $c$ を求める問題です。平均値の定理とは、関数 $f(x)$ が閉区間 $[a, b]$ で連続で、開区間 ...

平均値の定理微分導関数関数区間
2025/6/30

数列 $\{ \frac{1 - r^n}{1 + r^n} \}$ の極限を、以下の各場合について求める問題です。 (1) $r > 1$ (2) $r = 1$ (3) $|r| < 1$ (4)...

数列極限収束発散
2025/6/30

3重積分 $I = \iiint_A xy \, dx \, dy \, dz$ を、領域 $A = \{(x, y, z) \mid x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0, x+y+z...

多重積分3重積分積分計算領域
2025/6/30