与えられた3つの関数について、第3次までの導関数を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{x}$ (2) $y = x \sin{x}$ (3) $y = \log{|\cos{x}|}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、第3次までの導関数を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{x}$

(2) $y = x \sin{x}$

(3) $y = \log{|\cos{x}|}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ の場合：

まず、1次導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2})x^{-3/2} = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

最後に、3次導関数を求めます。

$y''' = -\frac{1}{4} \cdot (-\frac{3}{2})x^{-5/2} = \frac{3}{8}x^{-5/2} = \frac{3}{8x^2\sqrt{x}}$

(2) $y = x \sin{x}$ の場合：

まず、1次導関数を求めます（積の微分法を使用）。

$y' = \sin{x} + x \cos{x}$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = \cos{x} + \cos{x} - x \sin{x} = 2\cos{x} - x \sin{x}$

最後に、3次導関数を求めます。

$y''' = -2\sin{x} - \sin{x} - x \cos{x} = -3\sin{x} - x \cos{x}$

(3) $y = \log{|\cos{x}|}$ の場合：

まず、1次導関数を求めます。

$y' = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = -\tan{x}$

次に、2次導関数を求めます。

$y'' = -\frac{1}{\cos^2{x}} = -\sec^2{x}$

最後に、3次導関数を求めます。

$y''' = -2(\sec{x})(\sec{x}\tan{x}) = -2\sec^2{x}\tan{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \sqrt{x}$ のとき:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$y'' = -\frac{1}{4x\sqrt{x}}$

$y''' = \frac{3}{8x^2\sqrt{x}}$

(2) $y = x \sin{x}$ のとき:

$y' = \sin{x} + x \cos{x}$

$y'' = 2\cos{x} - x \sin{x}$

$y''' = -3\sin{x} - x \cos{x}$

(3) $y = \log{|\cos{x}|}$ のとき:

$y' = -\tan{x}$

$y'' = -\sec^2{x}$

$y''' = -2\sec^2{x}\tan{x}$