次の2つの定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin 2x \, dx$ (2) $\int_{1}^{e} (x+1)^2 \log x \, dx$

1. 問題の内容

次の2つの定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin 2x \, dx$

(2) $\int_{1}^{e} (x+1)^2 \log x \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin 2x \, dx$ について

被積分関数 $f(x) = x^2 \sin 2x$ は奇関数です。なぜなら、

$f(-x) = (-x)^2 \sin(2(-x)) = x^2 (-\sin 2x) = -x^2 \sin 2x = -f(x)$

が成り立つからです。

したがって、積分区間が対称なので、この定積分の値は0になります。

$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ (ただし、$f(x)$ は奇関数)

(2) $\int_{1}^{e} (x+1)^2 \log x \, dx$ について

部分積分を使って計算します。

まず、$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$ なので、

$\int_{1}^{e} (x^2 + 2x + 1) \log x \, dx$

$\int_{1}^{e} (x^2 + 2x + 1) \log x \, dx = \int_{1}^{e} (x^2 + 2x + 1) \cdot (\log x) \, dx$

ここで、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を用います。

$u = \log x$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$

$dv = (x^2 + 2x + 1) \, dx$ とすると、$v = \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x$

したがって、

$\int_{1}^{e} (x^2 + 2x + 1) \log x \, dx = \left[ (\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x) \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x) \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[ (\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x) \log x \right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} (\frac{1}{3}x^2 + x + 1) \, dx$

$= \left[ (\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x) \log x \right]_{1}^{e} - \left[ \frac{1}{9}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x \right]_{1}^{e}$

$= (\frac{1}{3}e^3 + e^2 + e) \log e - (\frac{1}{3} + 1 + 1) \log 1 - (\frac{1}{9}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + e) + (\frac{1}{9} + \frac{1}{2} + 1)$

$= (\frac{1}{3}e^3 + e^2 + e) - (\frac{1}{9}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + e) + (\frac{2+9+18}{18})$

$= (\frac{1}{3} - \frac{1}{9})e^3 + (1 - \frac{1}{2})e^2 + (1-1)e + \frac{29}{18}$

$= \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{29}{18}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin 2x \, dx = 0$

(2) $\int_{1}^{e} (x+1)^2 \log x \, dx = \frac{2}{9}e^3 + \frac{1}{2}e^2 + \frac{29}{18}$