$\sum_{k=1}^{n} 4 \cdot 3^{k-1}$ を計算する問題です。これは、初項が $4$、公比が $3$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 4 \cdot 3^{k-1}$ を計算する問題です。これは、初項が $4$、公比が $3$ の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

等比数列の和の公式を使います。初項を $a$、公比を $r$ とすると、初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は次のように表されます。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この問題では、初項 $a = 4$、公比 $r = 3$ なので、公式に代入すると次のようになります。

$S_n = \frac{4(3^n - 1)}{3 - 1}$

これを整理すると、

$S_n = \frac{4(3^n - 1)}{2}$

$S_n = 2(3^n - 1)$

$S_n = 2 \cdot 3^n - 2$

3. 最終的な答え

$2 \cdot 3^n - 2$