問題は、次の2つの定積分を求めることです。 (1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$ (2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの定積分を求めることです。

(1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$

(2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx$ について：

まず、$\sqrt{x} - 2 = 0$ となる $x$ を求めます。

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

したがって、$1 \le x \le 4$ のとき $\sqrt{x} - 2 \le 0$ であり、$4 \le x \le 9$ のとき $\sqrt{x} - 2 \ge 0$ です。

よって、積分は次のように分割できます。

$\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx = \int_{1}^{4} (2 - \sqrt{x}) dx + \int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{1}^{4} (2 - \sqrt{x}) dx = [2x - \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = (2(4) - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}) - (2(1) - \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}) = (8 - \frac{2}{3}(8)) - (2 - \frac{2}{3}) = 8 - \frac{16}{3} - 2 + \frac{2}{3} = 6 - \frac{14}{3} = \frac{18-14}{3} = \frac{4}{3}$

$\int_{4}^{9} (\sqrt{x} - 2) dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x]_{4}^{9} = (\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9)) - (\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 2(4)) = (\frac{2}{3}(27) - 18) - (\frac{2}{3}(8) - 8) = (18 - 18) - (\frac{16}{3} - 8) = 0 - (\frac{16-24}{3}) = -\frac{-8}{3} = \frac{8}{3}$

したがって、$\int_{1}^{9} |\sqrt{x} - 2| dx = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = \frac{12}{3} = 4$

(2) $\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta$ について：

$0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos{\theta} \ge 0$ であり、$\frac{\pi}{2} \le \theta \le \pi$ のとき $\cos{\theta} \le 0$ です。

よって、積分は次のように分割できます。

$\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} d\theta + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{\theta}) d\theta$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos{\theta} d\theta = [\sin{\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin{\frac{\pi}{2}} - \sin{0} = 1 - 0 = 1$

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (-\cos{\theta}) d\theta = [-\sin{\theta}]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = (-\sin{\pi}) - (-\sin{\frac{\pi}{2}}) = 0 - (-1) = 1$

したがって、$\int_{0}^{\pi} |\cos{\theta}| d\theta = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2