次の関数を微分します。 (1) $y = \sin^2{x} \cos^2{x}$ (2) $y = \sqrt{1 + \sin^2{x}}$ (3) $y = \log|\cos{x}|$

はい、承知いたしました。与えられた問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の関数を微分します。

(1) $y = \sin^2{x} \cos^2{x}$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin^2{x}}$

(3) $y = \log|\cos{x}|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin^2{x} \cos^2{x}$ の微分

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を利用します。

$u = \sin^2{x}$, $v = \cos^2{x}$ とおくと、

$u' = 2\sin{x}\cos{x}$, $v' = 2\cos{x}(-\sin{x}) = -2\sin{x}\cos{x}$ となります。

よって、

$y' = 2\sin{x}\cos{x}\cos^2{x} + \sin^2{x}(-2\sin{x}\cos{x}) = 2\sin{x}\cos{x}(\cos^2{x} - \sin^2{x})$

三角関数の倍角の公式 $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$ と $\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}$ を使うと、

$y' = \sin{2x}\cos{2x} = \frac{1}{2} \sin{4x}$

(2) $y = \sqrt{1 + \sin^2{x}}$ の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$y = \sqrt{u}$ とおくと、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$u = 1 + \sin^2{x}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 2\sin{x}\cos{x} = \sin{2x}$

したがって、

$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \sin^2{x}}} \cdot \sin{2x} = \frac{\sin{2x}}{2\sqrt{1 + \sin^2{x}}}$

(3) $y = \log|\cos{x}|$ の微分

合成関数の微分公式を利用します。

$y = \log|u|$ とおくと、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u}$

$u = \cos{x}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = -\sin{x}$

したがって、

$y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{\cos{x}} \cdot (-\sin{x}) = -\frac{\sin{x}}{\cos{x}} = -\tan{x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{1}{2}\sin{4x}$

(2) $y' = \frac{\sin{2x}}{2\sqrt{1 + \sin^2{x}}}$

(3) $y' = -\tan{x}$