与えられた三角方程式を解く問題です。 (1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ について、 (i) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解を求める。 (ii) $-\pi \le \theta < \pi$ の範囲での解を求める。 (iii) 一般解を求める。 (2) $\tan\theta = -\sqrt{3}$ について、解を求める範囲は指定されていませんが、一般解を求めます。

1. 問題の内容

与えられた三角方程式を解く問題です。

(1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$ について、

(i) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲での解を求める。

(ii) $-\pi \le \theta < \pi$ の範囲での解を求める。

(iii) 一般解を求める。

(2) $\tan\theta = -\sqrt{3}$ について、解を求める範囲は指定されていませんが、一般解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$

(i) $0 \le \theta < 2\pi$ の範囲

$\sin\theta$ が負の値をとるので、$\theta$ は第3象限または第4象限にあります。

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ であるから、

$\theta = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ と

$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$ が解です。

(ii) $-\pi \le \theta < \pi$ の範囲

$\theta = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$ と $\theta = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = -\frac{\pi}{6}$ が解です。

(iii) 一般解

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ の一般解は、

$\theta = n\pi + (-1)^n (-\frac{\pi}{6})$ (nは整数) となります。

または、

$\theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{6}$, $\theta = 2n\pi + \frac{11\pi}{6}$ (nは整数) と表せます。

(2) $\tan\theta = -\sqrt{3}$

$\tan\theta$ が負の値をとるので、$\theta$ は第2象限または第4象限にあります。

$\tan\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ であるから、$\theta = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ が一つの解です。

一般解は、周期$\pi$ を足し合わせればよいので、

$\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ (nは整数) となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin\theta = -\frac{1}{2}$

(i) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき: $\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

(ii) $-\pi \le \theta < \pi$ のとき: $\theta = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$

(iii) 一般解: $\theta = n\pi + (-1)^n (-\frac{\pi}{6})$ (nは整数) または $\theta = 2n\pi + \frac{7\pi}{6}, 2n\pi + \frac{11\pi}{6}$ (nは整数)

(2) $\tan\theta = -\sqrt{3}$ の一般解: $\theta = \frac{2\pi}{3} + n\pi$ (nは整数)