$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき、$sin(\alpha - \beta)$ と $cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ の動径が第2象限にあり、$sin \alpha = \frac{2}{3}$、$\beta$ の動径が第1象限にあり、$cos \beta = \frac{3}{5}$ のとき、$sin(\alpha - \beta)$ と $cos(\alpha + \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$cos \alpha$ と $sin \beta$ の値を求める。

$\alpha$ は第2象限にあるので、$cos \alpha < 0$ である。$sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$ より、

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

よって、$cos \alpha = - \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\beta$ は第1象限にあるので、$sin \beta > 0$ である。$sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1$ より、

$sin^2 \beta = 1 - cos^2 \beta = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

よって、$sin \beta = \frac{4}{5}$

次に、$sin(\alpha - \beta)$ と $cos(\alpha + \beta)$ を計算する。

$sin(\alpha - \beta) = sin \alpha cos \beta - cos \alpha sin \beta = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} - (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot \frac{4}{5} = \frac{6}{15} + \frac{4\sqrt{5}}{15} = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{15}$

$cos(\alpha + \beta) = cos \alpha cos \beta - sin \alpha sin \beta = (-\frac{\sqrt{5}}{3}) \cdot \frac{3}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = -\frac{3\sqrt{5}}{15} - \frac{8}{15} = \frac{-3\sqrt{5} - 8}{15}$

3. 最終的な答え

$sin(\alpha - \beta) = \frac{6 + 4\sqrt{5}}{15}$

$cos(\alpha + \beta) = \frac{-8 - 3\sqrt{5}}{15}$