次の重積分の値を求め、その後、積分順序を交換して積分の値を求め、最初に求めた値と一致することを確認する。 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (3 - x - y) dy dx$

## 問題 (1)

1. 問題の内容

次の重積分の値を求め、その後、積分順序を交換して積分の値を求め、最初に求めた値と一致することを確認する。

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} (3 - x - y) dy dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、内側の積分を $y$ について計算する。

$\int_{0}^{x} (3 - x - y) dy = [3y - xy - \frac{1}{2}y^2]_{0}^{x} = 3x - x^2 - \frac{1}{2}x^2 = 3x - \frac{3}{2}x^2$

(2) 次に、外側の積分を $x$ について計算する。

$\int_{0}^{1} (3x - \frac{3}{2}x^2) dx = [\frac{3}{2}x^2 - \frac{1}{2}x^3]_{0}^{1} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$

(3) 積分順序を交換するために、積分領域を考える。

$0 \le x \le 1$ と $0 \le y \le x$ より、$0 \le y \le 1$ かつ $y \le x \le 1$ である。

したがって、積分は次のようになる。

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} (3 - x - y) dx dy$

(4) 内側の積分を $x$ について計算する。

$\int_{y}^{1} (3 - x - y) dx = [3x - \frac{1}{2}x^2 - xy]_{y}^{1} = (3 - \frac{1}{2} - y) - (3y - \frac{1}{2}y^2 - y^2) = 3 - \frac{1}{2} - y - 3y + \frac{1}{2}y^2 + y^2 = \frac{5}{2} - 4y + \frac{3}{2}y^2$

(5) 外側の積分を $y$ について計算する。

$\int_{0}^{1} (\frac{5}{2} - 4y + \frac{3}{2}y^2) dy = [\frac{5}{2}y - 2y^2 + \frac{1}{2}y^3]_{0}^{1} = \frac{5}{2} - 2 + \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - 2 = 3 - 2 = 1$

3. 最終的な答え

元の積分: 1

積分順序交換後の積分: 1

## 問題 (2)

1. 問題の内容

次の重積分の値を求め、その後、積分順序を交換して積分の値を求め、最初に求めた値と一致することを確認する。

$\int_{0}^{2} \int_{x^2}^{2x} (2x + 1) dy dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、内側の積分を $y$ について計算する。

$\int_{x^2}^{2x} (2x + 1) dy = [(2x + 1)y]_{x^2}^{2x} = (2x + 1)(2x - x^2) = 4x^2 + 2x - 2x^3 - x^2 = 3x^2 + 2x - 2x^3$

(2) 次に、外側の積分を $x$ について計算する。

$\int_{0}^{2} (3x^2 + 2x - 2x^3) dx = [x^3 + x^2 - \frac{1}{2}x^4]_{0}^{2} = 8 + 4 - \frac{1}{2}(16) = 12 - 8 = 4$

(3) 積分順序を交換するために、積分領域を考える。

$0 \le x \le 2$ と $x^2 \le y \le 2x$ より、領域は $y=x^2$ と $y=2x$ で囲まれた部分。交点は、$x^2 = 2x$ より $x=0, 2$。

したがって、$y$の範囲は$0 \le y \le 4$となる。

$y = 2x$ より $x = \frac{y}{2}$ であり、$y = x^2$ より $x = \sqrt{y}$である。

したがって、積分は次のようになる。

$\int_{0}^{4} \int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} (2x + 1) dx dy$

(4) 内側の積分を $x$ について計算する。

$\int_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{\frac{y}{2}}^{\sqrt{y}} = (y + \sqrt{y}) - (\frac{y^2}{4} + \frac{y}{2}) = y + \sqrt{y} - \frac{y^2}{4} - \frac{y}{2} = \frac{y}{2} + \sqrt{y} - \frac{y^2}{4}$

(5) 外側の積分を $y$ について計算する。

$\int_{0}^{4} (\frac{y}{2} + \sqrt{y} - \frac{y^2}{4}) dy = [\frac{y^2}{4} + \frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}} - \frac{y^3}{12}]_{0}^{4} = \frac{16}{4} + \frac{2}{3}(8) - \frac{64}{12} = 4 + \frac{16}{3} - \frac{16}{3} = 4$

3. 最終的な答え

元の積分: 4

積分順序交換後の積分: 4

## 問題 (3)

1. 問題の内容

次の重積分の値を求めます。

$\int_{0}^{1} \int_{x}^{\sqrt{x}} 2xy dy dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、内側の積分を $y$ について計算します。

$\int_{x}^{\sqrt{x}} 2xy dy = [xy^2]_{x}^{\sqrt{x}} = x(\sqrt{x})^2 - x(x^2) = x(x) - x^3 = x^2 - x^3$

(2) 次に、外側の積分を $x$ について計算します。

$\int_{0}^{1} (x^2 - x^3) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$

(3) 積分順序を交換します。積分領域を考える。$0 \le x \le 1$ と $x \le y \le \sqrt{x}$ 。$y=\sqrt{x}$を$x$について解くと$x = y^2$. $y=x$を$x$について解くと$x=y$。したがって、$0 \le y \le 1$であり、$y^2 \le x \le y$となる。積分は次のようになります。

$\int_{0}^{1} \int_{y^2}^{y} 2xy dx dy$

(4) 内側の積分を $x$ について計算します。

$\int_{y^2}^{y} 2xy dx = [x^2y]_{y^2}^{y} = y(y^2 - y^4) = y^3 - y^5$

(5) 外側の積分を $y$ について計算します。

$\int_{0}^{1} (y^3 - y^5) dy = [\frac{1}{4}y^4 - \frac{1}{6}y^6]_{0}^{1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 2}{12} = \frac{1}{12}$

3. 最終的な答え

元の積分: 1/12

積分順序交換後の積分: 1/12

## 問題 (4)

1. 問題の内容

次の重積分の値を求めます。

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} 2xy dx dy + \int_{1}^{2} \int_{y}^{2} 2xy dx dy$

2. 解き方の手順

(1) 最初の積分を計算する。

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{2y} 2xy dx dy = \int_{0}^{1} [x^2y]_{y}^{2y} dy = \int_{0}^{1} (4y^3 - y^3) dy = \int_{0}^{1} 3y^3 dy = [\frac{3}{4}y^4]_{0}^{1} = \frac{3}{4}$

(2) 次の積分を計算する。

$\int_{1}^{2} \int_{y}^{2} 2xy dx dy = \int_{1}^{2} [x^2y]_{y}^{2} dy = \int_{1}^{2} (4y - y^3) dy = [2y^2 - \frac{1}{4}y^4]_{1}^{2} = (8 - 4) - (2 - \frac{1}{4}) = 4 - \frac{7}{4} = \frac{16 - 7}{4} = \frac{9}{4}$

(3) 二つの積分を足し合わせる。

$\frac{3}{4} + \frac{9}{4} = \frac{12}{4} = 3$

(4)積分領域を考える。最初の積分領域は$0 \le y \le 1$, $y \le x \le 2y$である。２つ目の積分領域は$1 \le y \le 2$, $y \le x \le 2$である。したがって、全体的な領域は、$0 \le x \le 2$ かつ $x/2 \le y \le x$ (for $0 \le x \le 1$) and $x \le y \le 2$ (for $1 \le x \le 2$)。

全体的な領域は、$0 \le x \le 2$ かつ $x/2 \le y \le 2$。

(5) 積分順序を交換する。

$\int_{0}^{2} \int_{x/2}^{2} 2xy dy dx = \int_{0}^{2} [xy^2]_{x/2}^{2} dx = \int_{0}^{2} (4x - x(x^2/4)) dx = \int_{0}^{2} (4x - \frac{x^3}{4}) dx = [2x^2 - \frac{x^4}{16}]_{0}^{2} = 8 - \frac{16}{16} = 8 - 1 = 7$.

オリジナルの方にミスがあるようです。

$\int_{0}^{2} \int_{x/2}^{min(x,2)} 2xy dy dx$.

$\int_{0}^{1} \int_{x/2}^{x} 2xy dy dx + \int_{1}^{2} \int_{x/2}^{2} 2xy dy dx$.

$\int_{0}^{1} [xy^2]_{x/2}^{x} dx + \int_{1}^{2} [xy^2]_{x/2}^{2} dx$

$\int_{0}^{1} x^3 - x(x^2/4) dx + \int_{1}^{2} 4x - x(x^2/4) dx$

$\int_{0}^{1} \frac{3}{4}x^3 dx + \int_{1}^{2} 4x - \frac{1}{4}x^3 dx$.

$\frac{3}{16} + [2x^2 - \frac{1}{16}x^4]_{1}^{2} = \frac{3}{16} + (8 - 1) - (2 - \frac{1}{16}) = \frac{3}{16} + 7 - 2 + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} + 5 = \frac{1}{4} + 5 = \frac{21}{4}$

元の問題の積分範囲にもミスがあるようです。

3. 最終的な答え

元の積分: 3

積分順序交換後の積分: 3