$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3b^3c^2$ の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(a + \frac{b}{2} + 3c)^8$ の展開式における $a^3b^3c^2$ の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

多項定理を使って展開します。

$(x_1 + x_2 + ... + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{p_1}x_2^{p_2}...x_m^{p_m}$ の項の係数は

$\frac{n!}{p_1!p_2!...p_m!}$

となります。ただし、$p_1+p_2+...+p_m = n$ です。

今回の問題では、$n=8$ であり、$a^3 (\frac{b}{2})^3 (3c)^2$ の項の係数を求めます。

まず、多項定理から係数を計算します。

$a$, $\frac{b}{2}$, $3c$ の指数はそれぞれ3, 3, 2なので、係数は

$\frac{8!}{3!3!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 2} = 8 \times 7 \times 5 \times 2 = 560$

となります。

次に、$\frac{b}{2}$ の3乗と $3c$ の2乗の係数を掛けます。

$(\frac{b}{2})^3 = \frac{1}{8}b^3$

$(3c)^2 = 9c^2$

したがって、$a^3 (\frac{b}{2})^3 (3c)^2 = a^3 \cdot \frac{1}{8} b^3 \cdot 9 c^2 = \frac{9}{8}a^3b^3c^2$

求める係数は $560 \times \frac{9}{8} = 70 \times 9 = 630$ となります。

3. 最終的な答え

630