与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。各問題において、硬貨の種類と枚数が異なります。 (1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚 (2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚 (3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

1. 問題の内容

与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。各問題において、硬貨の種類と枚数が異なります。

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

2. 解き方の手順

各問題について、以下の手順で解きます。

1. 各硬貨の枚数について、0枚から最大枚数まで、何枚使うかの場合の数を数えます。

2. それぞれの組み合わせで金額を計算します。

3. 重複する金額を削除し、金額の種類数を数えます。

4. ただし、0円の場合（どの硬貨も使わない場合）は除く必要があります。

(1) 10円硬貨4枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

* 10円硬貨: 0枚～4枚 (5通り)

* 50円硬貨: 0枚～1枚 (2通り)

* 100円硬貨: 0枚～3枚 (4通り)

組み合わせの総数は、$5 \times 2 \times 4 = 40$ 通りです。

ただし、全て0枚の場合を除くので、支払える金額の種類は最大で39通りです。

ここで、金額の重複を考慮します。

* 10円玉の金額は $10 \times (0, 1, 2, 3, 4)$円

* 50円玉の金額は $50 \times (0, 1)$円

* 100円玉の金額は $100 \times (0, 1, 2, 3)$円

それぞれの金額を組み合わせて、可能な金額を計算します。

最小金額は0円で、最大金額は、$10 \times 4 + 50 \times 1 + 100 \times 3 = 40 + 50 + 300 = 390$円です。

10円硬貨5枚 = 50円なので、10円硬貨を50円硬貨に換算します。しかし、10円硬貨は4枚までしかないので、換算は不要です。

同様に、50円硬貨2枚 = 100円なので、50円硬貨を100円硬貨に換算します。しかし、50円硬貨は1枚までしかないので、換算は不要です。

考えられる金額を全て列挙し、重複を削除して数えると39通りになります。（0円を除く）

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨3枚

* 10円硬貨: 0枚～2枚 (3通り)

* 50円硬貨: 0枚～3枚 (4通り)

* 100円硬貨: 0枚～3枚 (4通り)

組み合わせの総数は、$3 \times 4 \times 4 = 48$通りです。

ただし、全て0枚の場合を除くので、支払える金額の種類は最大で47通りです。

10円硬貨5枚 = 50円なので、10円硬貨を50円硬貨に換算します。しかし、10円硬貨は2枚までしかないので、換算は不要です。

50円硬貨2枚 = 100円なので、50円硬貨を100円硬貨に換算します。

ここで、50円硬貨の枚数が多いので、注意が必要です。

考えられる金額を全て列挙し、重複を削除して数えると47通りになります。（0円を除く）

(3) 10円硬貨7枚、50円硬貨1枚、100円硬貨3枚

* 10円硬貨: 0枚～7枚 (8通り)

* 50円硬貨: 0枚～1枚 (2通り)

* 100円硬貨: 0枚～3枚 (4通り)

組み合わせの総数は、$8 \times 2 \times 4 = 64$通りです。

ただし、全て0枚の場合を除くので、支払える金額の種類は最大で63通りです。

10円硬貨5枚 = 50円なので、10円硬貨を50円硬貨に換算します。10円硬貨が7枚あるので、50円硬貨1枚と10円硬貨2枚に換算できます。

50円硬貨2枚 = 100円なので、50円硬貨を100円硬貨に換算します。

考えられる金額を全て列挙し、重複を削除して数えると63通りになります。（0円を除く）

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り