与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。3つの場合についてそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

与えられた硬貨を使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。3つの場合についてそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) 10円硬貨4枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚の場合

10円玉の使い方は0枚から4枚の5通り、50円玉の使い方は0枚か1枚の2通り、100円玉の使い方は0枚から3枚の4通りあります。

したがって、全部で $5 \times 2 \times 4 = 40$ 通りですが、全て0枚の場合は0円となり、これは支払いには含まれないので、1を引きます。よって、$40 - 1 = 39$通り。

(2) 10円硬貨2枚, 50円硬貨3枚, 100円硬貨3枚の場合

10円玉の使い方は0枚から2枚の3通り、50円玉の使い方は0枚から3枚の4通り、100円玉の使い方は0枚から3枚の4通りあります。

ただし、10円玉2枚は50円玉1枚に満たないので、単純に計算してはいけません。

10円玉と50円玉を合わせた金額を考えます。

10円玉2枚、50円玉3枚で合計最大 $2 \times 10 + 3 \times 50 = 20 + 150 = 170$ 円まで作れます。

10円玉の使い方は0枚, 1枚, 2枚の3通り。50円玉の使い方は0枚, 1枚, 2枚, 3枚の4通り。

このとき、10円玉と50円玉の組み合わせでできる金額は、

0, 10, 20, 50, 60, 70, 100, 110, 120, 150, 160, 170

の12通りになります。

100円玉の使い方は0枚, 1枚, 2枚, 3枚の4通り。

よって、10円、50円、100円玉の組み合わせは、$12 \times 4 = 48$ 通り。

ただし、全て0枚の場合は支払いには含まれないので、1を引きます。

$48 - 1 = 47$ 通り。

(3) 10円硬貨7枚, 50円硬貨1枚, 100円硬貨3枚の場合

10円玉の使い方は0枚から7枚の8通り、50円玉の使い方は0枚か1枚の2通り、100円玉の使い方は0枚から3枚の4通りあります。

10円玉7枚は70円なので、50円玉1枚より金額が多いです。

10円玉2枚で20円なので50円玉1枚の金額を超えないので、単純に計算できます。

したがって、全部で $8 \times 2 \times 4 = 64$ 通りですが、全て0枚の場合は0円となり、これは支払いには含まれないので、1を引きます。よって、$64 - 1 = 63$通り。

3. 最終的な答え

(1) 39通り

(2) 47通り

(3) 63通り