$\sqrt[3]{32 \sqrt[3]{81}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{32 \sqrt[3]{81}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt[3]{81}$ を簡単にします。$81 = 3^4$ なので、

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{3^4} = 3\sqrt[3]{3}$

となります。

次に、$\sqrt[3]{32 \sqrt[3]{81}}$ を $\sqrt[3]{32 \cdot 3\sqrt[3]{3}}$ と書き換えます。

さらに計算すると、

$\sqrt[3]{96 \sqrt[3]{3}}$

となります。

ここで、$96 = 2^5 \cdot 3$ なので、

$\sqrt[3]{2^5 \cdot 3 \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^{4/3}} = \sqrt[3]{2^5} \cdot \sqrt[3]{3^{4/3}}$

と分解できます。

$\sqrt[3]{2^5} = 2\sqrt[3]{2^2} = 2\sqrt[3]{4}$

$\sqrt[3]{3^{4/3}} = 3^{4/9} = \sqrt[9]{3^4} = \sqrt[9]{81}$

したがって、$\sqrt[3]{32 \sqrt[3]{81}}$ は簡単にはなりません。

ここで、与えられた式を指数を使って表してみます。

$\sqrt[3]{32\sqrt[3]{81}} = (32 \cdot 81^{1/3})^{1/3} = (32)^{1/3} \cdot (81^{1/3})^{1/3} = (2^5)^{1/3} \cdot (3^4)^{1/9} = 2^{5/3} \cdot 3^{4/9} = 2^{15/9} \cdot 3^{4/9} = (2^{15} \cdot 3^4)^{1/9} = (32768 \cdot 81)^{1/9} = (2654208)^{1/9}$

$\sqrt[3]{81} = 3\sqrt[3]{3}$

$\sqrt[3]{32 \sqrt[3]{81}} = \sqrt[3]{32 \cdot 3 \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{96 \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{2^5} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[9]{3} = 2 \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[9]{3} = 2 \sqrt[3]{12} \sqrt[9]{3}$

与えられた式を簡単にする別の方法を考えます。

$32 = 2^5$ および $81 = 3^4$ を使うと、

$\sqrt[3]{32\sqrt[3]{81}} = \sqrt[3]{2^5 \sqrt[3]{3^4}} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 3^{4/3}} = 2^{5/3} \cdot 3^{4/9} = 2^{1+2/3} \cdot 3^{4/9} = 2 \cdot 2^{2/3} \cdot 3^{4/9} = 2\sqrt[3]{4}\sqrt[9]{81} = 2 \sqrt[3]{4}\sqrt[9]{3^4} = 2 \sqrt[3]{4} \sqrt[9]{3^4}$

元の式に戻り、$32 = 2^5$, $81 = 3^4$であることを利用します。

$\sqrt[3]{32\sqrt[3]{81}} = (32\sqrt[3]{81})^{1/3} = (2^5 (3^4)^{1/3})^{1/3} = (2^5 3^{4/3})^{1/3} = (2^5)^{1/3} (3^{4/3})^{1/3} = 2^{5/3} 3^{4/9} = 2^{15/9} 3^{4/9} = (2^{15} 3^4)^{1/9} = (32768 \cdot 81)^{1/9} = (2654208)^{1/9}$

3. 最終的な答え

$2 \sqrt[3]{4}\sqrt[9]{81}$

または

$2^{5/3} \cdot 3^{4/9}$

または

$(2654208)^{1/9}$