20本のくじの中に当たりくじが5本入っている。このくじを1本引いて元に戻す、という試行を3回繰り返すとき、当たりくじをちょうど2回引く確率を求める。

1. 問題の内容

20本のくじの中に当たりくじが5本入っている。このくじを1本引いて元に戻す、という試行を3回繰り返すとき、当たりくじをちょうど2回引く確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題である。

1回の試行で当たりくじを引く確率は $\frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ である。

1回の試行で外れくじを引く確率は $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ である。

3回の試行で当たりくじをちょうど2回引く確率は、3回のうち2回当たり、1回外れる確率であり、その当たり方（順番）は ${}_3 C_2 = 3$ 通りある。

したがって、求める確率は

$${}_3 C_2 \times \left(\frac{1}{4}\right)^2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{16} \times \frac{3}{4} = \frac{9}{64}$$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{64}$