1から10までの自然数（1, 2, 3, ..., 10）の中から、以下の条件を満たすような数字の選び方の数を求める問題です。 (1) 奇数2つと偶数2つを選び、合計4つの数字を選ぶ選び方は何通りあるか。 (2) 選んだ3つの数字の積が偶数となるような選び方は何通りあるか。

1. 問題の内容

1から10までの自然数（1, 2, 3, ..., 10）の中から、以下の条件を満たすような数字の選び方の数を求める問題です。

(1) 奇数2つと偶数2つを選び、合計4つの数字を選ぶ選び方は何通りあるか。

(2) 選んだ3つの数字の積が偶数となるような選び方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 1から10までの自然数には、奇数が5つ（1, 3, 5, 7, 9）と偶数が5つ（2, 4, 6, 8, 10）あります。奇数2つを選ぶ組み合わせの数は ${}_5C_2$ 通り、偶数2つを選ぶ組み合わせの数も ${}_5C_2$ 通りです。したがって、奇数2つと偶数2つを選ぶ組み合わせの数は、これらを掛け合わせたものになります。

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

よって、奇数2つと偶数2つを選ぶ組み合わせの数は

$10 \times 10 = 100$ 通りです。

(2) 3つの数の積が偶数になるのは、少なくとも1つ偶数が含まれている場合です。言い換えると、3つとも奇数の場合を除けば、積は偶数になります。

まず、1から10までの自然数から3つを選ぶすべての組み合わせの数を求めます。

${}_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

次に、3つとも奇数を選ぶ組み合わせの数を求めます。奇数は5つあるので、

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

したがって、積が偶数となる3つの数の選び方は、すべての組み合わせから3つとも奇数を選ぶ組み合わせを引いたものです。

$120 - 10 = 110$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 100通り

(2) 110通り