立方体の6つの面に赤が3つ、白が2つ、黒が1つ塗られている。この立方体を繰り返し投げ、赤の面が3回出た時点で終了とする。$n$回目に終了となる確率を$P(n)$とする。 (1) $P(n)$, $P(n+1)$をそれぞれ$n$で表せ。ただし、$n \geq 3$ (2) 不等式$P(n) < P(n+1)$を満たす$n$の範囲、および$P(n)$を最大にする$n$の値を求めよ。

1. 問題の内容

立方体の6つの面に赤が3つ、白が2つ、黒が1つ塗られている。この立方体を繰り返し投げ、赤の面が3回出た時点で終了とする。$n$回目に終了となる確率を$P(n)$とする。

(1) $P(n)$, $P(n+1)$をそれぞれ$n$で表せ。ただし、$n \geq 3$

(2) 不等式$P(n) < P(n+1)$を満たす$n$の範囲、および$P(n)$を最大にする$n$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$n$回目に終了するということは、$n-1$回目までに赤が2回、それ以外の色が出ているということである。

$n-1$回目までに赤が2回出る確率は、二項分布より $_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1-2} = {}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$

$n$回目に赤が出る確率は$\frac{1}{2}$

よって、$P(n) = {}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = {}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

$P(n+1) = {}_{n}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

(2)

$P(n) < P(n+1)$を考える。

${}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < {}_{n}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

$\frac{(n-1)(n-2)}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n} < \frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

$\frac{(n-1)(n-2)}{2} < \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$(n-1)(n-2) < \frac{n(n-1)}{2}$

$2(n-2) < n$ （$n \geq 3$より$n-1 \neq 0$）

$2n - 4 < n$

$n < 4$

$n=3$

$P(n) < P(n+1)$を満たすのは$n=3$のとき。

次に、$P(n)$を最大にする$n$の値を求める。

$\frac{P(n+1)}{P(n)} = \frac{{}_{n}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{{}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}} = \frac{\frac{n(n-1)}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}}{\frac{(n-1)(n-2)}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n}} = \frac{n(n-1)}{2} \cdot \frac{2}{(n-1)(n-2)} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2(n-2)}$

$P(n+1) > P(n)$のとき、$\frac{P(n+1)}{P(n)} > 1$

$\frac{n}{2(n-2)} > 1$

$n > 2(n-2)$

$n > 2n - 4$

$4 > n$

$n < 4$

$n=3$のとき、$P(4) > P(3)$

$n \geq 4$のとき、$\frac{P(n+1)}{P(n)} < 1$なので、$P(n+1) < P(n)$

$P(4) > P(3), P(4) > P(5) > P(6) > \cdots$

よって、$P(n)$を最大にする$n$の値は$n=4$

3. 最終的な答え

(1) $P(n) = {}_{n-1}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$

$P(n+1) = {}_{n}C_2 \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$

(2) $P(n) < P(n+1)$を満たす$n$の範囲：$n=3$

$P(n)$を最大にする$n$の値：$n=4$