袋 A には赤球 6 個と白球 4 個、袋 B には赤球 2 個と白球 3 個が入っている。袋 A と袋 B からそれぞれ 2 個ずつ球を取り出すとき、取り出された 4 個の球がすべて同じ色になる確率を求める。

1. 問題の内容

袋 A には赤球 6 個と白球 4 個、袋 B には赤球 2 個と白球 3 個が入っている。袋 A と袋 B からそれぞれ 2 個ずつ球を取り出すとき、取り出された 4 個の球がすべて同じ色になる確率を求める。

2. 解き方の手順

4 個の球がすべて同じ色になるのは、すべて赤球であるか、すべて白球であるかのいずれかである。それぞれの確率を計算し、それらを足し合わせる。

* **4 個すべてが赤球の場合:**

* 袋 A から 2 個の赤球を取り出す確率: $\frac{{}_6 C_2}{{}_{10} C_2} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}$

* 袋 B から 2 個の赤球を取り出す確率: $\frac{{}_2 C_2}{{}_{5} C_2} = \frac{1}{10}$

* したがって、4 個すべてが赤球である確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{30}$

* **4 個すべてが白球の場合:**

* 袋 A から 2 個の白球を取り出す確率: $\frac{{}_4 C_2}{{}_{10} C_2} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

* 袋 B から 2 個の白球を取り出す確率: $\frac{{}_3 C_2}{{}_{5} C_2} = \frac{3}{10}$

* したがって、4 個すべてが白球である確率は、

$\frac{2}{15} \times \frac{3}{10} = \frac{6}{150} = \frac{1}{25}$

* 4 個すべてが同じ色である確率は、上記 2 つの場合の確率の和である。

$\frac{1}{30} + \frac{1}{25} = \frac{5}{150} + \frac{6}{150} = \frac{11}{150}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{150}$