問題は偏差に関する表を完成させること、および国語と数学の得点の共分散と相関係数を求めることです。 まず、生徒ごとの国語と数学の偏差の積を計算し、表の①～⑤を埋めます。次に、国語と数学の共分散、相関係数を求めます。

1. 問題の内容

問題は偏差に関する表を完成させること、および国語と数学の得点の共分散と相関係数を求めることです。

まず、生徒ごとの国語と数学の偏差の積を計算し、表の①～⑤を埋めます。次に、国語と数学の共分散、相関係数を求めます。

2. 解き方の手順

(11) 偏差の積の計算：

表のそれぞれの生徒について、国語の偏差と数学の偏差を掛け合わせます。

* ① Alice: $0 \times (-20) = 0$

* ② Bob: $10 \times 40 = 400$

* ③ Chad: $(-10) \times (-20) = 200$

* ④ David: $0 \times 20 = 0$

* ⑤ Emma: $0 \times (-20) = 0$

(12) 国語と数学の共分散の計算：

共分散は、国語と数学の偏差の積の平均です。上記の偏差の積を合計し、生徒数（5人）で割ります。

共分散 = $(0 + 400 + 200 + 0 + 0) / 5$

(13) 国語と数学の相関係数の計算：

相関係数は、共分散を国語と数学の標準偏差の積で割ったものです。

まず、それぞれの標準偏差を計算する必要があります。

国語の標準偏差を$S_x$、数学の標準偏差を$S_y$、共分散を$Cov(x,y)$とすると、相関係数$r$は次のように表されます。

$r = \frac{Cov(x,y)}{S_x \cdot S_y}$

国語の偏差の分散を$V_x$、数学の偏差の分散を$V_y$とすると、$V_x = \frac{\sum_{i=1}^5 (x_i-\bar{x})^2}{5}$、$V_y = \frac{\sum_{i=1}^5 (y_i-\bar{y})^2}{5}$。

標準偏差は分散の平方根で求めることができます。$S_x=\sqrt{V_x}$、$S_y=\sqrt{V_y}$。

国語の平均偏差：$\bar{x} = \frac{0+10-10+0+0}{5} = 0$

数学の平均偏差：$\bar{y} = \frac{-20+40-20+20-20}{5} = 0$

国語の偏差の分散：$V_x = \frac{(0-0)^2 + (10-0)^2 + (-10-0)^2 + (0-0)^2 + (0-0)^2}{5} = \frac{0+100+100+0+0}{5} = 40$

数学の偏差の分散：$V_y = \frac{(-20-0)^2 + (40-0)^2 + (-20-0)^2 + (20-0)^2 + (-20-0)^2}{5} = \frac{400+1600+400+400+400}{5} = \frac{3200}{5} = 640$

国語の標準偏差：$S_x = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$

数学の標準偏差：$S_y = \sqrt{640} = 8\sqrt{10}$

共分散：$Cov(x,y) = \frac{400+200}{5} = \frac{600}{5} = 120$

相関係数：$r = \frac{120}{2\sqrt{10} \cdot 8\sqrt{10}} = \frac{120}{16 \cdot 10} = \frac{120}{160} = \frac{3}{4} = 0.75$

3. 最終的な答え

①: 0

②: 400

③: 200

④: 0

⑤: 0

共分散: 120

相関係数: 0.75