不良品率が0.1%の自動車生産工程から500台を取り出したとき、 (1) 不良品が入っていない確率を求めます。 (2) 不良品が3台以上入る確率を求めます。 ただし、確率は小数点第6位を四捨五入します。総台数 $n=500$、不良品率 $p=0.001$ であり、不良品の台数を確率変数 $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従います。 $n$ が大きく、$p$ が小さいので、この $B(n, p)$ は平均 $\mu = 0.5$ のポアソン分布 $P_0(0.5)$ に近似できます。 ポアソン分布の確率密度は $P_p(x) = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$ $(x=0, 1, 2, ...)$ で与えられます。

1. 問題の内容

不良品率が0.1%の自動車生産工程から500台を取り出したとき、

(1) 不良品が入っていない確率を求めます。

(2) 不良品が3台以上入る確率を求めます。

ただし、確率は小数点第6位を四捨五入します。総台数 $n=500$、不良品率 $p=0.001$ であり、不良品の台数を確率変数 $X$ とすると、$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従います。 $n$ が大きく、$p$ が小さいので、この $B(n, p)$ は平均 $\mu = 0.5$ のポアソン分布 $P_0(0.5)$ に近似できます。

ポアソン分布の確率密度は

$P_p(x) = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$ $(x=0, 1, 2, ...)$ で与えられます。

2. 解き方の手順

(1) 不良品がない確率を求めます。これは、$x=0$ をポアソン分布の式に代入することで求まります。

$P_p(0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.606531$

(2) 不良品が3台以上入る確率を求めます。これは余事象の確率 $P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \leq 2)$ を利用して求めます。

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$P(X=0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.606531$

$P(X=1) = e^{-0.5} \frac{0.5^1}{1!} = 0.5 e^{-0.5} \approx 0.303265$

$P(X=2) = e^{-0.5} \frac{0.5^2}{2!} = \frac{0.25}{2} e^{-0.5} = 0.125 e^{-0.5} \approx 0.075816$

$P(X \leq 2) = 0.606531 + 0.303265 + 0.075816 = 0.985612$

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 0.985612 = 0.014388$

3. 最終的な答え

(1) 不良品がない確率：0.606531

(2) 不良品が3台以上入る確率：0.014388

```

P_p(0) = 0.606531

P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2)

= 1 - (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2))

= 1 - (e^{-0.5} + 0.5*e^{-0.5} + 0.125*e^{-0.5})

= 1 - e^{-0.5}*(1 + 0.5 + 0.125)

= 1 - e^{-0.5}*1.625

= 1 - 0.606531*1.625

= 1 - 0.985612

= 0.014388

```

最終的な答え：

(1) 0.606531

(2) 0.014388