袋Aには白玉3個と黒玉5個、袋Bには白玉2個と黒玉2個が入っている。まず袋Aから2個を取り出して袋Bに入れ、次に袋Bから2個を取り出して袋Aに戻す。このとき、袋Aの白玉の個数が初めより増加する確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには白玉3個と黒玉5個、袋Bには白玉2個と黒玉2個が入っている。まず袋Aから2個を取り出して袋Bに入れ、次に袋Bから2個を取り出して袋Aに戻す。このとき、袋Aの白玉の個数が初めより増加する確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、袋Aから袋Bへ移す玉の組み合わせを考え、それぞれの確率を計算します。

次に、袋Bから袋Aへ移す玉の組み合わせを考え、それぞれの確率を計算します。

最後に、袋Aの白玉の個数が増加する確率を計算します。

(1) 袋Aから袋Bへ移す玉の組み合わせ

- 白玉2個: 確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_8C_2} = \frac{3}{28}$

- 白玉1個、黒玉1個: 確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_5C_1}{{}_8C_2} = \frac{15}{28}$

- 黒玉2個: 確率は $\frac{{}_5C_2}{{}_8C_2} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$

(2) 袋Bの状態

- 袋Aから白玉2個を移した場合: 袋Bは白玉4個、黒玉2個

- 袋Aから白玉1個、黒玉1個を移した場合: 袋Bは白玉3個、黒玉3個

- 袋Aから黒玉2個を移した場合: 袋Bは白玉2個、黒玉4個

(3) 袋Bから袋Aへ移す玉の組み合わせ（場合分け）

- (i) 袋Aから白玉2個を移した場合 (袋Bは白玉4個、黒玉2個)

- 白玉2個: 確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

- 白玉1個、黒玉1個: 確率は $\frac{{}_4C_1 \times {}_2C_1}{{}_6C_2} = \frac{8}{15}$

- 黒玉2個: 確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{1}{15}$

- (ii) 袋Aから白玉1個、黒玉1個を移した場合 (袋Bは白玉3個、黒玉3個)

- 白玉2個: 確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_6C_2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

- 白玉1個、黒玉1個: 確率は $\frac{{}_3C_1 \times {}_3C_1}{{}_6C_2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

- 黒玉2個: 確率は $\frac{{}_3C_2}{{}_6C_2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

- (iii) 袋Aから黒玉2個を移した場合 (袋Bは白玉2個、黒玉4個)

- 白玉2個: 確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_6C_2} = \frac{1}{15}$

- 白玉1個、黒玉1個: 確率は $\frac{{}_2C_1 \times {}_4C_1}{{}_6C_2} = \frac{8}{15}$

- 黒玉2個: 確率は $\frac{{}_4C_2}{{}_6C_2} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

(4) 袋Aの白玉の個数が増加する確率

袋Aの白玉の個数が増加するのは、袋Aから袋Bへ黒玉が移り、袋Bから袋Aへ白玉が移る場合です。

- (i) 袋Aから白玉2個を移した場合: 袋Bから白玉0個を移す確率は0なので、袋Aの白玉の個数は減る。

- (ii) 袋Aから白玉1個、黒玉1個を移した場合: 袋Bから白玉2個を移す確率は $\frac{1}{5}$。このとき、袋Aの白玉の個数は変化しない。

袋Bから白玉1個、黒玉1個を移す確率は $\frac{3}{5}$。このとき、袋Aの白玉の個数は変化しない。

- (iii) 袋Aから黒玉2個を移した場合:

袋Bから白玉2個を移す確率は $\frac{1}{15}$。このとき、袋Aの白玉の個数は増加する。

袋Bから白玉1個、黒玉1個を移す確率は $\frac{8}{15}$。このとき、袋Aの白玉の個数は増加する。

求める確率は

$P = \frac{15}{28} \times \frac{1}{5} \times 0 + \frac{5}{14} \times (\frac{1}{15} + \frac{8}{15}) = 0 + \frac{5}{14} \times \frac{9}{15} = \frac{5}{14} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{14}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{14}$