問題は、自由度のあるt分布に従う統計量$T$を用いて、$-t_{\alpha/2} \leq T \leq t_{\alpha/2}$を満たす$\mu$について、$T$に(4)の結果を代入して得られる不等式を解き、母平均$\mu$の95%信頼区間を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、自由度のあるt分布に従う統計量$T$を用いて、$-t_{\alpha/2} \leq T \leq t_{\alpha/2}$を満たす$\mu$について、$T$に(4)の結果を代入して得られる不等式を解き、母平均$\mu$の95%信頼区間を求めるものです。

2. 解き方の手順

1. 問題文中の「(4)の結果」が不明なので、一般的なt分布を用いた母平均の信頼区間の導出を説明します。

2. 標本平均を$\bar{x}$、標本標準偏差を$s$、標本サイズを$n$、自由度を$n-1$とします。

3. $T$統計量は以下のように定義されます。

$T = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$

4. 95%信頼区間を求めるには、$\alpha = 0.05$とし、$t_{0.025, n-1}$を自由度$n-1$のt分布における上側2.5%点とします。

5. $-t_{0.025, n-1} \leq T \leq t_{0.025, n-1}$に$T$の式を代入します。

$-t_{0.025, n-1} \leq \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}} \leq t_{0.025, n-1}$

6. この不等式を$\mu$について解きます。まず、全ての辺に$\frac{s}{\sqrt{n}}$を掛けます。

$-t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \bar{x} - \mu \leq t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

7. 次に、全ての辺から$\bar{x}$を引きます。

$-\bar{x} -t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq -\mu \leq -\bar{x} + t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

8. 最後に、全ての辺に-1を掛け、不等号の向きを反転させます。

$\bar{x} - t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$

3. 最終的な答え

母平均$\mu$の95%信頼区間は、$\bar{x} - t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{x} + t_{0.025, n-1} \frac{s}{\sqrt{n}}$となります。