ある種の蝶の体長を6回測定した結果、76, 85, 82, 83, 76, 78ミリメートルだった。このデータを用いて、母平均$\mu$を区間推定する。 (1) 標本平均$\bar{x}$を求める。 (2) 標本分散$s^2$を求める。 (3) 標本標準偏差$s$を求める。 (4) 標本平均、標本標準偏差、標本の個数を用いて、統計量$T$を$\mu$で表す式を作る。 (5) $T$が自由度$n-1$のt分布に従うことを利用して、$\mu$の95%信頼区間を求める。

以下、与えられた問題に対する回答です。

1. 問題の内容

ある種の蝶の体長を6回測定した結果、76, 85, 82, 83, 76, 78ミリメートルだった。このデータを用いて、母平均$\mu$を区間推定する。

(1) 標本平均$\bar{x}$を求める。

(2) 標本分散$s^2$を求める。

(3) 標本標準偏差$s$を求める。

(4) 標本平均、標本標準偏差、標本の個数を用いて、統計量$T$を$\mu$で表す式を作る。

(5) $T$が自由度$n-1$のt分布に従うことを利用して、$\mu$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\bar{x}$は、データの総和をデータの個数で割ることで求められる。

$\bar{x} = \frac{76 + 85 + 82 + 83 + 76 + 78}{6} = \frac{480}{6} = 80$

(2) 標本分散$s^2$は、各データと標本平均の差の二乗和を自由度($n-1$)で割ることで求められる。

$s^2 = \frac{(76-80)^2 + (85-80)^2 + (82-80)^2 + (83-80)^2 + (76-80)^2 + (78-80)^2}{6-1} = \frac{16 + 25 + 4 + 9 + 16 + 4}{5} = \frac{74}{5} = 14.8$

(3) 標本標準偏差$s$は、標本分散の平方根である。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{14.8} \approx 3.847$

(4) 統計量$T$は、以下の式で定義される。

$T = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x} = 80$, $s = \sqrt{14.8}$, $n = 6$なので、

$T = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8}/\sqrt{6}} = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8/6}} = \frac{80 - \mu}{\sqrt{2.467}} \approx \frac{80 - \mu}{1.571}$

(5) 自由度$n-1 = 6-1 = 5$のt分布において、95%信頼区間を求める。t分布表から、$t_{0.025}(5) = 2.571$となる。したがって、

$-2.571 \le T \le 2.571$

$-2.571 \le \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8/6}} \le 2.571$

$-2.571 \times \sqrt{14.8/6} \le 80 - \mu \le 2.571 \times \sqrt{14.8/6}$

$-2.571 \times 1.571 \le 80 - \mu \le 2.571 \times 1.571$

$-4.04 \le 80 - \mu \le 4.04$

$-4.04 - 80 \le -\mu \le 4.04 - 80$

$-84.04 \le -\mu \le -75.96$

$75.96 \le \mu \le 84.04$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: $\bar{x} = 80$

(2) 標本分散: $s^2 = 14.8$

(3) 標本標準偏差: $s = \sqrt{14.8} \approx 3.847$

(4) $T = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8}/\sqrt{6}}$

(5) 母平均$\mu$の95%信頼区間: $75.96 \le \mu \le 84.04$