ある種の蝶の体長を6個体測定した結果、76, 85, 82, 83, 76, 78ミリメートルであった。この標本から母平均$\mu$を区間推定する問題である。具体的には、標本平均、標本分散、標本標準偏差を計算し、$t$分布を利用して母平均$\mu$の95%信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある種の蝶の体長を6個体測定した結果、76, 85, 82, 83, 76, 78ミリメートルであった。この標本から母平均$\mu$を区間推定する問題である。具体的には、標本平均、標本分散、標本標準偏差を計算し、$t$分布を利用して母平均$\mu$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均の計算

標本平均$\bar{x}$は、データの総和をデータ数で割ったものである。

$\bar{x} = \frac{76 + 85 + 82 + 83 + 76 + 78}{6} = \frac{480}{6} = 80$

(2) 標本分散の計算

標本分散$s^2$は、各データと標本平均の差の二乗和を自由度（データ数 - 1）で割ったものである。

まず、各データと標本平均の差を計算する。

76 - 80 = -4

85 - 80 = 5

82 - 80 = 2

83 - 80 = 3

76 - 80 = -4

78 - 80 = -2

次に、これらの差の二乗を計算する。

(-4)^2 = 16

5^2 = 25

2^2 = 4

3^2 = 9

(-4)^2 = 16

(-2)^2 = 4

これらの二乗和は、16 + 25 + 4 + 9 + 16 + 4 = 74

標本分散は、$s^2 = \frac{74}{6-1} = \frac{74}{5} = 14.8$

(3) 標本標準偏差の計算

標本標準偏差$s$は、標本分散の平方根である。

$s = \sqrt{14.8} \approx 3.847$

(4) $T$の式の作成

$T = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

ここで、$\bar{x}=80$, $s = \sqrt{14.8}$, $n = 6$なので、

$T = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8} / \sqrt{6}} = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8/6}} = \frac{80-\mu}{\sqrt{2.467}}$

(5) 母平均$\mu$の95%信頼区間の計算

自由度5の$t$分布において、95%信頼区間に対応する$t$値を求める。$t_{0.025, 5} \approx 2.571$

$-2.571 \le T \le 2.571$

$-2.571 \le \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8/6}} \le 2.571$

$-2.571 \sqrt{14.8/6} \le 80 - \mu \le 2.571 \sqrt{14.8/6}$

$-2.571 \sqrt{2.467} \le 80 - \mu \le 2.571 \sqrt{2.467}$

$-2.571 \times 1.571 \le 80 - \mu \le 2.571 \times 1.571$

$-4.04 \le 80 - \mu \le 4.04$

$-4.04 - 80 \le -\mu \le 4.04 - 80$

$-84.04 \le -\mu \le -75.96$

$75.96 \le \mu \le 84.04$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: $\bar{x} = 80$

(2) 標本分散: $s^2 = 14.8$

(3) 標本標準偏差: $s = \sqrt{14.8} \approx 3.847$

(4) $T = \frac{80 - \mu}{\sqrt{14.8/6}}$

(5) 自由度 5

母平均$\mu$の95%信頼区間: $75.96 \le \mu \le 84.04$