ある居酒屋の売り上げデータから、母平均 $\mu$ を区間推定する問題です。具体的には、以下の手順で求めます。 (1) 標本平均を求める。 (2) 標本分散を求める。 (3) 標本標準偏差を求める。 (4) $T$ を $\mu$ で表す式を作る。 (5) $T$ の $95\%$ 信頼区間を求め、そこから $\mu$ の $95\%$ 信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある居酒屋の売り上げデータから、母平均 $\mu$ を区間推定する問題です。具体的には、以下の手順で求めます。

(1) 標本平均を求める。

(2) 標本分散を求める。

(3) 標本標準偏差を求める。

(4) $T$ を $\mu$ で表す式を作る。

(5) $T$ の $95\%$ 信頼区間を求め、そこから $\mu$ の $95\%$ 信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$$\bar{x} = \frac{45+39+42+57+28+33+40+52}{8} = \frac{336}{8} = 42$$

(2) 標本分散 $s^2$ を計算します。

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

$$s^2 = \frac{(45-42)^2 + (39-42)^2 + (42-42)^2 + (57-42)^2 + (28-42)^2 + (33-42)^2 + (40-42)^2 + (52-42)^2}{8-1}$$

$$s^2 = \frac{3^2 + (-3)^2 + 0^2 + 15^2 + (-14)^2 + (-9)^2 + (-2)^2 + 10^2}{7} = \frac{9+9+0+225+196+81+4+100}{7} = \frac{624}{7} \approx 89.14$$

(3) 標本標準偏差 $s$ を計算します。

$$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{624}{7}} \approx \sqrt{89.14} \approx 9.44$$

(4) $T$ を $\mu$ で表す式を作ります。$T$ は以下の式で定義されます。

$$T = \frac{\bar{x} - \mu}{s/\sqrt{n}}$$

$\bar{x} = 42$, $s = \sqrt{\frac{624}{7}}$, $n=8$ を代入すると

$$T = \frac{42 - \mu}{\sqrt{\frac{624}{7}}/\sqrt{8}} = \frac{42 - \mu}{\sqrt{\frac{624}{56}}} = \frac{42 - \mu}{\sqrt{\frac{78}{7}}} = \frac{42 - \mu}{\frac{\sqrt{78}}{\sqrt{7}}}$$

(5) $T$ は自由度 $n-1 = 8-1 = 7$ の $t$ 分布に従います。$95\%$ 信頼区間を求めるので、両側 $2.5\%$ 点を求めます。$t_{0.025, 7} \approx 2.365$ となります。

$$-2.365 \le T \le 2.365$$

$$-2.365 \le \frac{42 - \mu}{\sqrt{\frac{624}{56}}} \le 2.365$$

$$-2.365 \sqrt{\frac{624}{56}} \le 42 - \mu \le 2.365 \sqrt{\frac{624}{56}}$$

$$-2.365 \sqrt{\frac{78}{7}} \le 42 - \mu \le 2.365 \sqrt{\frac{78}{7}}$$

$$-2.365 \times 3.34 \le 42 - \mu \le 2.365 \times 3.34$$

$$-7.9 \le 42 - \mu \le 7.9$$

$$-7.9 - 42 \le - \mu \le 7.9 - 42$$

$$-49.9 \le - \mu \le -34.1$$

$$34.1 \le \mu \le 49.9$$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: $42$

(2) 標本分散: $\frac{624}{7} \approx 89.14$

(3) 標本標準偏差: $s = \sqrt{\frac{624}{7}} \approx 9.44$

(4) $T = \frac{42 - \mu}{\sqrt{\frac{624}{56}}} = \frac{42-\mu}{9.44/\sqrt{8}}$

(5) 母平均 $\mu$ の $95\%$ 信頼区間は、$34.1 \le \mu \le 49.9$ となる。