ある集団は2つのグループAとBから成り、Aが占める割合は20%である。事象Eが発生する割合が、Aでは2%、Bでは3%である。 (1) この集団から選び出した1個について、事象Eが発生する確率を求めよ。 (2) 事象Eが発生したときに、選び出された1個がAのグループに属している確率を求めよ。

1. 問題の内容

ある集団は2つのグループAとBから成り、Aが占める割合は20%である。事象Eが発生する割合が、Aでは2%、Bでは3%である。

(1) この集団から選び出した1個について、事象Eが発生する確率を求めよ。

(2) 事象Eが発生したときに、選び出された1個がAのグループに属している確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 事象Eが発生する確率を求める。

Aに属する確率を$P(A)$、Bに属する確率を$P(B)$、Aで事象Eが発生する確率を$P(E|A)$、Bで事象Eが発生する確率を$P(E|B)$とする。

$P(A) = 0.2$

$P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.2 = 0.8$

$P(E|A) = 0.02$

$P(E|B) = 0.03$

事象Eが発生する確率$P(E)$は、全確率の公式より

$P(E) = P(E|A)P(A) + P(E|B)P(B)$

$P(E) = (0.02)(0.2) + (0.03)(0.8) = 0.004 + 0.024 = 0.028$

(2) 事象Eが発生したときに、選び出された1個がAのグループに属している確率を求める。

求める確率は$P(A|E)$である。

ベイズの定理より

$P(A|E) = \frac{P(E|A)P(A)}{P(E)}$

$P(A|E) = \frac{(0.02)(0.2)}{0.028} = \frac{0.004}{0.028} = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 事象Eが発生する確率は0.028

(2) 事象Eが発生したときに、選び出された1個がAのグループに属している確率は$\frac{1}{7}$