E, X, C, E, L, L, E, N, T の9文字がある。 (1) これらの9文字を左から横一列に並べるとき、並べ方の総数を求め、Lが続けて並ばない並べ方の総数を求める。 (2) これらの9文字から任意に4文字を取り出し左から横一列に並べるとき、並べ方の総数を求める。

1. 問題の内容

E, X, C, E, L, L, E, N, T の9文字がある。

(1) これらの9文字を左から横一列に並べるとき、並べ方の総数を求め、Lが続けて並ばない並べ方の総数を求める。

(2) これらの9文字から任意に4文字を取り出し左から横一列に並べるとき、並べ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 9文字の並べ方の総数を求める。同じ文字がEが3個、Lが2個あるので、

$\frac{9!}{3!2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 2 = 30240$

次に、Lが続けて並ぶ場合を考える。LLを一つの文字と考えると、全部で8個の文字を並べることになる。ただし、Eが3個あるので、

$\frac{8!}{3!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

よって、Lが続けて並ばない並べ方の総数は、

$30240 - 6720 = 23520$

Eが続けて並ばない並べ方の総数を求める。Eが3つ連続して並ぶ場合、Eが2つ連続して並ぶ場合を考えるのは複雑になるので、ここでは直接計算するのは避けて、Eが３個並んでいる場合、２個並んでいる場合など場合分けして計算するのは難しいので、余事象で解くのは困難です。よって、問題文に指示がないので、Eが連続して並んでいても良い場合を考えます。

Eが3個, Lが2個あるので、文字の種類数はE, X, C, L, N, Tの6種類あります。

全体の場合の数 - Eが2つ以上連続して並ぶ場合を引くのは難しいので、直接Eが隣り合わない並べ方を計算する。

まず、E以外の6文字を並べる。並べ方は、$\frac{6!}{2!}$通り。 (Lが2つあるため)

6文字の並び方は$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 / (2 \times 1) = 360$通り

次に、この6文字の間にEを並べる場所を考える。6文字の両端と間を合わせると、7箇所ある。

この7箇所から3箇所を選んでEを並べるので、${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り

したがって、Eが隣り合わない並べ方は、$360 \times 35 = 12600$通り

(2) 9文字から任意に4文字を取り出す場合を考える。

(i) 4文字とも異なる場合：6種類から4種類選んで並べるので、${}_6 P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り

(ii) 同じ文字が2つ含まれる場合 (Lが2個またはEが2個)：

(a) Lが2個の場合：残りの2文字は5種類から選ぶ。並べ方は$\frac{4!}{2!} = 12$通り。選び方は${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。 よって $12 \times 10 = 120$通り

(b) Eが2個の場合：残りの2文字は5種類から選ぶ。並べ方は$\frac{4!}{2!} = 12$通り。選び方は${}_5 C_2 = \frac{5 \times 4}{2} = 10$通り。 よって $12 \times 10 = 120$通り

(iii) 同じ文字が3つ含まれる場合 (Eが3個)：残りの1文字は5種類から選ぶ。並べ方は$\frac{4!}{3!} = 4$通り。選び方は5通り。よって $4 \times 5 = 20$通り

(iv) 同じ文字が2種類含まれる場合 (Eが2個かつLが2個)：並べ方は$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$通り。

したがって、合計は$360 + 120 + 120 + 20 + 6 = 626$通り

3. 最終的な答え

(1) 並べ方の総数：30240通り

Lが続けて並ばない並べ方の総数：23520通り

Eが続けて並ばない並べ方の総数：12600通り

(2) 626通り