ある居酒屋の売り上げデータ（8枚の伝票からランダムに抽出されたもの: 45, 39, 42, 57, 28, 33, 40, 52 (単位は万円)）を用いて、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を区間推定する問題です。具体的には、標本平均、標本分散、標本標準偏差を計算し、$t$ 分布を用いて母平均の信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

ある居酒屋の売り上げデータ（8枚の伝票からランダムに抽出されたもの: 45, 39, 42, 57, 28, 33, 40, 52 (単位は万円)）を用いて、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を区間推定する問題です。具体的には、標本平均、標本分散、標本標準偏差を計算し、$t$ 分布を用いて母平均の信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均 $\bar{x}$ を計算する。

標本平均は、データの合計をデータの数で割ったものです。

$\bar{x} = \frac{45 + 39 + 42 + 57 + 28 + 33 + 40 + 52}{8}$

(2) 標本分散 $s^2$ を計算する。

標本分散は、各データと標本平均の差の二乗和をデータの数-1で割ったものです。

$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$

(3) 標本標準偏差 $s$ を計算する。

標本標準偏差は、標本分散の平方根です。

$s = \sqrt{s^2}$

(4) $t$ 統計量を $\mu$ で表す。

$t$ 統計量は、以下の式で表されます。

$T = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}}$

(5) 自由度 $n-1$ の $t$ 分布における95%信頼区間の臨界値を求め、$t$ 統計量に (4) の結果を代入して得られる不等式を $\mu$ について解き、$\mu$ の95%信頼区間を求める。

計算を実行します。

(1)

$\bar{x} = \frac{45 + 39 + 42 + 57 + 28 + 33 + 40 + 52}{8} = \frac{336}{8} = 42$

(2)

$s^2 = \frac{(45-42)^2 + (39-42)^2 + (42-42)^2 + (57-42)^2 + (28-42)^2 + (33-42)^2 + (40-42)^2 + (52-42)^2}{8-1}$

$s^2 = \frac{9 + 9 + 0 + 225 + 196 + 81 + 4 + 100}{7} = \frac{624}{7} \approx 89.14$

(3)

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{624}{7}} \approx \sqrt{89.14} \approx 9.44$

(4)

$T = \frac{42 - \mu}{9.44 / \sqrt{8}} = \frac{42 - \mu}{9.44 / 2.83} = \frac{42 - \mu}{3.34}$

(5)

自由度は $n-1 = 8-1 = 7$ です。$t$ 分布表より、自由度7における95%信頼区間の臨界値は $t_{0.025, 7} = 2.365$ です。

したがって、

$-2.365 \le \frac{42 - \mu}{3.34} \le 2.365$

$-2.365 * 3.34 \le 42 - \mu \le 2.365 * 3.34$

$-7.906 \le 42 - \mu \le 7.906$

$-7.906 - 42 \le -\mu \le 7.906 - 42$

$-49.906 \le -\mu \le -34.094$

$34.094 \le \mu \le 49.906$

3. 最終的な答え

(1) 標本平均: $\bar{x} = 42$

(2) 標本分散: $s^2 = \frac{624}{7} \approx 89.14$

(3) 標本標準偏差: $s = \sqrt{\frac{624}{7}} \approx 9.44$

(4) $T = \frac{42 - \mu}{9.44 / \sqrt{8}} \approx \frac{42 - \mu}{3.34}$

(5) 母平均 $\mu$ の95%信頼区間は、$34.094 \le \mu \le 49.906$ となる。