7人を、区別できる2つの部屋A、Bに入れる方法と、区別できない2つの部屋に入れる方法をそれぞれ求める問題です。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入るものとします。

確率論・統計学組み合わせ場合の数重複組み合わせ
2025/7/3

1. 問題の内容

7人を、区別できる2つの部屋A、Bに入れる方法と、区別できない2つの部屋に入れる方法をそれぞれ求める問題です。ただし、それぞれの部屋には少なくとも1人は入るものとします。

2. 解き方の手順

(1) 区別できる2つの部屋A、Bに入れる場合:
まず、各人について、部屋Aと部屋Bのどちらかを選ぶことができます。したがって、7人それぞれについて2通りの選択肢があるので、部屋の選び方の総数は 27=1282^7 = 128 通りです。
ただし、すべての人が部屋Aに入る場合と、すべての人が部屋Bに入る場合は、それぞれの部屋に少なくとも1人が入るという条件を満たしません。したがって、これらの2つの場合を除外する必要があります。
よって、求める場合の数は 272=1282=1262^7 - 2 = 128 - 2 = 126 通りです。
(2) 区別できない2つの部屋に入れる場合:
(1)で求めた126通りのうち、部屋Aと部屋Bの区別をなくすと、組み合わせが重複して数えられているものがあります。具体的には、Aにkk人、Bに7k7-k人入る場合と、Aに7k7-k人、Bにkk人入る場合が、区別できない場合は同じ組み合わせとして数えられます。ただし、k=7kk = 7 - k つまり k=3.5k = 3.5となる場合は存在しないので、すべての組み合わせで重複が発生しています。
そこで、(1)で求めた126通りを2で割ると、区別できない部屋に入れる場合の数が求められます。
126/2=63126 / 2 = 63通り。

3. 最終的な答え

区別できる2つの部屋A、Bに入れる方法は126通り。
区別できない2つの部屋に入れる方法は63通り。

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