確率変数 $X$ が正規分布 $N(0.8, 2^2)$ に従うとき、$P(-1 \le X \le 0.4)$ を求める問題です。 $Y = \frac{X - a}{b}$ とおくと、$Y$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。 $-1 \le X \le 0.4$ を $c \le Y \le d$ の形に変形し、$P(-1 \le X \le 0.4) = P(c \le Y \le d) = e$ となるように、$a, b, c, d, e$ の値を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(0.8, 2^2)$ に従うとき、$P(-1 \le X \le 0.4)$ を求める問題です。

$Y = \frac{X - a}{b}$ とおくと、$Y$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従います。 $-1 \le X \le 0.4$ を $c \le Y \le d$ の形に変形し、$P(-1 \le X \le 0.4) = P(c \le Y \le d) = e$ となるように、$a, b, c, d, e$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$Y = \frac{X - a}{b}$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うことから、$a$ は $X$ の平均、 $b$ は $X$ の標準偏差となることがわかります。

$X$ は正規分布 $N(0.8, 2^2)$ に従うので、平均は $0.8$、標準偏差は $2$ です。

よって、$a = 0.8$, $b = 2$ となります。

次に、$-1 \le X \le 0.4$ を $Y$ の不等式に変換します。

$Y = \frac{X - 0.8}{2}$ なので、

$X = -1$ のとき、$Y = \frac{-1 - 0.8}{2} = \frac{-1.8}{2} = -0.9$

$X = 0.4$ のとき、$Y = \frac{0.4 - 0.8}{2} = \frac{-0.4}{2} = -0.2$

したがって、$c = -0.9$, $d = -0.2$ となります。

最後に、$P(-1 \le X \le 0.4) = P(-0.9 \le Y \le -0.2)$ を求めます。

標準正規分布表から、$P(Y \le -0.2) = 0.4207$、$P(Y \le -0.9) = 0.1841$ です。

よって、$P(-0.9 \le Y \le -0.2) = P(Y \le -0.2) - P(Y \le -0.9) = 0.4207 - 0.1841 = 0.2366$

したがって、$e = 0.2366$ となります。

3. 最終的な答え

a = 0.8

b = 2

c = -0.9

d = -0.2

e = 0.2366