袋の中に赤玉が3個、白玉が5個入っている。袋から1個ずつ、合計4個の玉を取り出す。ただし、取り出した玉は元に戻さない。3個目以降に初めて赤玉を取り出す確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が3個、白玉が5個入っている。袋から1個ずつ、合計4個の玉を取り出す。ただし、取り出した玉は元に戻さない。3個目以降に初めて赤玉を取り出す確率を求めよ。

2. 解き方の手順

3個目以降に初めて赤玉を取り出すということは、以下のいずれかのケースになる。

* 3個目に初めて赤玉が出る

* 4個目に初めて赤玉が出る

それぞれのケースの確率を計算し、それらを足し合わせる。

* 3個目に初めて赤玉が出る場合：1個目、2個目は白玉であり、3個目は赤玉である必要がある。

* 1個目に白玉を取り出す確率は $\frac{5}{8}$

* 2個目に白玉を取り出す確率は $\frac{4}{7}$

* 3個目に赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

* したがって、3個目に初めて赤玉が出る確率は

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\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{20}{112} = \frac{5}{28}

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* 4個目に初めて赤玉が出る場合：1個目、2個目、3個目は白玉であり、4個目は赤玉である必要がある。

* 1個目に白玉を取り出す確率は $\frac{5}{8}$

* 2個目に白玉を取り出す確率は $\frac{4}{7}$

* 3個目に白玉を取り出す確率は $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

* 4個目に赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{5}$

* したがって、4個目に初めて赤玉が出る確率は

$$$$

\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{60}{560} = \frac{3}{28}

$$$$

求める確率は、これらの確率を足し合わせたものになる。

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\frac{5}{28} + \frac{3}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7}

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3. 最終的な答え

$\frac{2}{7}$