居酒屋の売り上げデータから、母平均$\mu$を区間推定する問題です。具体的には、以下の手順で解きます。 (1) 標本平均$\bar{x}$を求める。 (2) 標本分散$s^2$を求める。 (3) 標本標準偏差$s$を求める。 (4) $t$統計量$T$を$\mu$を用いて表す式を作る。 (5) $t$分布を利用して$\mu$の95%信頼区間を求める。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

居酒屋の売り上げデータから、母平均$\mu$を区間推定する問題です。具体的には、以下の手順で解きます。

(1) 標本平均$\bar{x}$を求める。

(2) 標本分散$s^2$を求める。

(3) 標本標準偏差$s$を求める。

(4) $t$統計量$T$を$\mu$を用いて表す式を作る。

(5) $t$分布を利用して$\mu$の95%信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

(1) 標本平均$\bar{x}$の計算：

与えられたデータは45, 39, 42, 57, 28, 33, 40, 52です。データの個数$n=8$です。

標本平均$\bar{x}$は、データの総和をデータ数で割ったものです。

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\bar{x} = \frac{45+39+42+57+28+33+40+52}{8} = \frac{336}{8} = 42

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結論：標本平均$\bar{x} = 42$

(2) 標本分散$s^2$の計算：

標本分散$s^2$は、各データと標本平均の差の二乗和を、$n-1$で割ったものです。

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s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}

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各データと標本平均の差の二乗は以下の通りです。

$(45-42)^2 = 9$

$(39-42)^2 = 9$

$(42-42)^2 = 0$

$(57-42)^2 = 225$

$(28-42)^2 = 196$

$(33-42)^2 = 81$

$(40-42)^2 = 4$

$(52-42)^2 = 100$

これらの合計は$9+9+0+225+196+81+4+100 = 624$です。

したがって、標本分散は

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s^2 = \frac{624}{8-1} = \frac{624}{7} \approx 89.14

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結論：標本分散$s^2 = 89.14$

(3) 標本標準偏差$s$の計算：

標本標準偏差$s$は、標本分散の平方根です。

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s = \sqrt{s^2} = \sqrt{89.14} \approx 9.44

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結論：標本標準偏差 $s = \sqrt{89.14} = 9.44$

(4) $t$統計量$T$の計算：

$t$統計量$T$は、以下の式で表されます。

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T = \frac{\bar{x} - \mu}{s / \sqrt{n}} = \frac{42 - \mu}{9.44 / \sqrt{8}}

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T = \frac{42 - \mu}{9.44 / 2.83} \approx \frac{42 - \mu}{3.34}

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(5) $\mu$の95%信頼区間の計算：

自由度$n-1 = 8-1 = 7$の$t$分布において、95%信頼区間を求めるには、$t_{0.025}(7)$の値が必要です。$t$分布表から、$t_{0.025}(7) \approx 2.365$です。

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-2.365 \le \frac{42 - \mu}{3.34} \le 2.365

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-2.365 \times 3.34 \le 42 - \mu \le 2.365 \times 3.34

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-7.90 \le 42 - \mu \le 7.90

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-7.90 - 42 \le - \mu \le 7.90 - 42

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-49.90 \le - \mu \le -34.10

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34.10 \le \mu \le 49.90

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結論：母平均$\mu$の95%信頼区間は、34.10 $\le \mu \le$ 49.90 となる。

3. 最終的な答え

(1) 標本平均：42

(2) 標本分散：89.14

(3) 標本標準偏差：9.44

(4) $T = \frac{42 - \mu}{3.34}$

(5) 34.10 $\le \mu \le$ 49.90