問題は以下の通りです。 (1) 図のような道路において、P地点から南に向かって出発し、与えられた規則に従って進むとき、A地点、B地点に到達する確率を求めよ。また、A地点、B地点、C地点に到達した場合に得られる点数に応じて、得られる点数の期待値を求めよ。 (2) 二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a$, $b$, $c$ は定数であり、$a \neq 0$ とする。 (i) Gがx軸と接するための必要十分条件を求めよ。 (ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求めよ。 (iii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めよ。 さらに、$a=2$, $bc=1$, $0 < b < 1$ のとき、Gとy軸の交点をA, Gとx軸の交点をB, Cとするとき、三角形ABCの面積をbを用いて表せ。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 図のような道路において、P地点から南に向かって出発し、与えられた規則に従って進むとき、A地点、B地点に到達する確率を求めよ。また、A地点、B地点、C地点に到達した場合に得られる点数に応じて、得られる点数の期待値を求めよ。

(2) 二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフをGとする。ただし、$a$, $b$, $c$ は定数であり、$a \neq 0$ とする。

(i) Gがx軸と接するための必要十分条件を求めよ。

(ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求めよ。

(iii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求めよ。

さらに、$a=2$, $bc=1$, $0 < b < 1$ のとき、Gとy軸の交点をA, Gとx軸の交点をB, Cとするとき、三角形ABCの面積をbを用いて表せ。

2. 解き方の手順

(1)

A地点に到達するためには、Pから1回目に4以下の目が出て東に進み、次に必ず南に進む必要がある。サイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ である。したがって、A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$ である。

B地点に到達するためには、Pから1回目に5以上の目が出て直進し、次に必ず南に進む必要がある。サイコロの目が5以上である確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。したがって、B地点に到達する確率は $\frac{1}{3}$ である。

C地点に到達する確率は0である。なぜなら、P地点から南に進んだ後、A地点またはB地点に到達するためである。

A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$ であり、1点を得る。B地点に到達する確率は $\frac{1}{3}$ であり、2点を得る。C地点に到達する確率は0であり、3点を得る。したがって、得られる点数の期待値は

$1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times 0 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ である。

(2)

(i) Gがx軸と接するための必要十分条件は、判別式が0であることである。

$y = a(x-b)(x-c) = a(x^2 - (b+c)x + bc) = ax^2 - a(b+c)x + abc$

判別式 $D = (-a(b+c))^2 - 4(a)(abc) = a^2(b+c)^2 - 4a^2bc = a^2(b^2 + 2bc + c^2 - 4bc) = a^2(b^2 - 2bc + c^2) = a^2(b-c)^2$

$D = 0$ となるのは $b-c = 0$、つまり $b = c$ のときである。したがって、Gがx軸と接するための必要十分条件は、$b = c$ である。したがって、（ア）の答えは2である。

(ii) Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、判別式が正であることである。

$a^2(b-c)^2 > 0$。$a \neq 0$ より、$(b-c)^2 > 0$。したがって、$b \neq c$ である。つまり、$b < c$ または $b > c$。したがって、（イ）の答えは1または3である。問題文の指示より、同じものを繰り返し選んでもよい。よって、（イ）の答えは1または3である。

(iii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$x=0$のとき、$y>0$であることである。

$y = a(0-b)(0-c) = abc > 0$

したがって、$abc > 0$ である。したがって、（ウ）の答えは7である。

$a = 2, bc = 1, 0 < b < 1$ のとき、

$y = 2(x-b)(x-c) = 2(x-b)(x-\frac{1}{b}) = 2(x^2 - (b + \frac{1}{b})x + 1)$

Gとy軸の交点Aは $(0, 2)$ である。

Gとx軸の交点Bは $(b, 0)$、Cは $(\frac{1}{b}, 0)$ である。

三角形ABCの面積は $\frac{1}{2} \times BC \times 高さ = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{b} - b) \times 2 = \frac{1}{b} - b = \frac{1-b^2}{b}$ である。

3. 最終的な答え

(1)

A地点に到達する確率: $\frac{2}{3}$

B地点に到達する確率: $\frac{1}{3}$

期待値: $\frac{4}{3}$

(2)

(i) (ア): 2

(ii) (イ): 3

(iii) (ウ): 7

三角形ABCの面積: $\frac{1-b^2}{b}$