P地点から出発し、以下の規則に従ってA, B, Cいずれかの地点に到達する確率を求める問題です。 - 規則1：南に進んでいる時、分岐点でサイコロを振る。4以下が出たら東西に曲がり、5以上が出たら直進する。 - 規則2：東西に進んでいる時、分岐点で必ず南に曲がる。 (1) A地点に到達する確率を求める。 (2) B地点に到達する確率を求める。 A, B, Cに到達した場合の得点がそれぞれ1, 2, 3点であるとき、このゲームで得られる点の期待値を求める。

## 問題1：確率と期待値

1. 問題の内容

P地点から出発し、以下の規則に従ってA, B, Cいずれかの地点に到達する確率を求める問題です。

- 規則1：南に進んでいる時、分岐点でサイコロを振る。4以下が出たら東西に曲がり、5以上が出たら直進する。

- 規則2：東西に進んでいる時、分岐点で必ず南に曲がる。

(1) A地点に到達する確率を求める。

(2) B地点に到達する確率を求める。

A, B, Cに到達した場合の得点がそれぞれ1, 2, 3点であるとき、このゲームで得られる点の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) A地点に到達する確率

* PからAへ行くには、南に1回進み、サイコロで5以上を出す必要があります。確率は$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

* Aに到達する確率は、$\frac{1}{3}$です。

(2) B地点に到達する確率

* PからBへ行くには、南に1回進み、サイコロで4以下を出し、西に進み、南に進む必要があります。サイコロで4以下を出す確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

* Bに到達する確率は、$\frac{2}{3}$です。

(3) C地点に到達する確率

* PからCへ行くには、南に1回進み、サイコロで4以下を出し、東に進み、南に進む必要があります。サイコロで4以下を出す確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

* Cに到達する確率は、$\frac{2}{3}$です。

(4) A、B、Cいずれかの地点に到達した場合の得点の期待値

* A地点に到達する確率を$P(A)$、B地点に到達する確率を$P(B)$、C地点に到達する確率を$P(C)$とします。

* A地点の得点は1点、B地点の得点は2点、C地点の得点は3点です。

* 期待値$E = 1 \times P(A) + 2 \times P(B) + 3 \times P(C)$

まずA, B, Cすべての点に到達する確率を足すと1になるはずですが、$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} > 1$　なので、問題文の解釈がおかしい可能性があります。

今回は、Aに到達する確率が$1/3$、BかCのどちらかに到達する確率が$2/3$だと仮定します。

また、BとCに到達する確率は等しいと仮定すると、BとCに到達する確率はそれぞれ$1/3$となります。

この仮定のもとでは、得点の期待値は以下の通りになります。

$E = 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times \frac{1}{3} = \frac{1+2+3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

3. 最終的な答え

(1) A地点に到達する確率：$\frac{1}{3}$

(2) B地点に到達する確率：$\frac{1}{3}$

得点の期待値：2

## 問題2：2次関数

1. 問題の内容

2次関数 $y = a(x-b)(x-c)$ のグラフGについて、以下の問いに答える問題です。ただし、$a \neq 0$とします。

(1) (i) Gがx軸と接するための必要十分条件を求める。

Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件を求める。

(ii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件を求める。

(2) $a=2, bc=1, 0<b<1$のとき、Gとy軸の交点をA, Gとx軸の交点をB,Cとする。△ABCの面積をbを用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) (i) Gがx軸と接するための必要十分条件

2次関数がx軸と接するということは、判別式Dが0になるということです。

$D = (-(b+c))^2 - 4(1)(bc) = (b-c)^2$

この式が０になるとき、$b = c$となります。

Gがx軸と異なる2点で交わるための必要十分条件

2次関数がx軸と異なる2点で交わるということは、判別式Dが0より大きくなるということです。

$D = (-(b+c))^2 - 4(1)(bc) = (b-c)^2$

この式が0より大きくなるとき、$b \neq c$となります。つまり、$b > c$または、$b < c$

(ii) Gがy軸の正の部分と交わるための必要十分条件

y軸との交点は、x=0を代入した時のyの値です。

$y = a(0-b)(0-c) = abc$

これが正であるためには、$abc > 0$が必要です。

(2) △ABCの面積

$a=2, bc=1, 0<b<1$

Gの式は、$y=2(x-b)(x-c) = 2(x-b)(x-\frac{1}{b})$

y軸との交点Aは、$x=0$のとき、$y = 2(0-b)(0-\frac{1}{b}) = 2bc = 2$

A(0, 2)

x軸との交点B, Cは、$y=0$のとき、$x=b, x=\frac{1}{b}$

B(b, 0), C($\frac{1}{b}$, 0)

△ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 高さ \times 底辺 = \frac{1}{2} \times 2 \times (\frac{1}{b} - b) = \frac{1}{b} - b$

したがって、$\triangle ABC = \frac{1-b^2}{b}$

3. 最終的な答え

(1) (i) x軸と接する：$b = c$ (2)

x軸と異なる2点で交わる：$b \neq c$ なので、1または3。$b > c$ (3)

(ii) y軸の正の部分と交わる：$abc > 0$ (7)

(2) △ABCの面積：$\frac{1-b^2}{b}$