A班には大人5人、子供4人、B班には大人4人、子供4人がいます。このとき、大人3人、子供2人を選ぶ方法について、以下の2つの場合についての場合の数を求めます。 (1) A班だけから選ぶ場合。 (2) A班、B班からそれぞれ少なくとも1人を選ぶ場合。

1. 問題の内容

A班には大人5人、子供4人、B班には大人4人、子供4人がいます。このとき、大人3人、子供2人を選ぶ方法について、以下の2つの場合についての場合の数を求めます。

(1) A班だけから選ぶ場合。

(2) A班、B班からそれぞれ少なくとも1人を選ぶ場合。

2. 解き方の手順

(1) A班だけから選ぶ場合

大人3人、子供2人をA班から選ぶ組み合わせを計算します。

大人の選び方は $_5C_3$通り、子供の選び方は $_4C_2$通りです。

よって、A班だけから選ぶ場合の数は $_5C_3 \times _4C_2$通りとなります。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

したがって、A班だけから選ぶ場合の数は $10 \times 6 = 60$通りです。

(2) A班、B班からそれぞれ少なくとも1人を選ぶ場合

まず、A班、B班から大人3人、子供2人を選ぶすべての組み合わせを計算します。

次に、A班またはB班からしか選ばない場合を計算します。

そして、すべての組み合わせからA班またはB班からしか選ばない場合を引くと、A班、B班からそれぞれ少なくとも1人を選ぶ場合の数が求まります。

A班とB班を合わせた人数は、大人9人、子供8人です。

ここから大人3人、子供2人を選ぶすべての組み合わせは $_9C_3 \times _8C_2$通りです。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

$_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$

したがって、すべての組み合わせは $84 \times 28 = 2352$通りです。

A班だけから選ぶ場合は(1)で計算した通り60通りです。

B班だけから選ぶ場合を考えます。

B班から大人3人、子供2人を選ぶ組み合わせは $_4C_3 \times _4C_2$通りです。

$_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4$

$_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$

したがって、B班だけから選ぶ組み合わせは $4 \times 6 = 24$通りです。

A班またはB班からしか選ばない場合は、$60 + 24 = 84$通りです。

A班、B班からそれぞれ少なくとも1人を選ぶ場合は、すべての組み合わせからA班またはB班からしか選ばない場合を引きます。

$2352 - 84 = 2268$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 2268通り