問題は、確率の問題と二次関数の問題の2つに分かれています。 (1) ある規則に従ってP地点から出発し、A地点またはB地点に到達する確率を求め、A,B,Cの到達した場合の点数から、ゲームで得られる点の期待値を求めます。 (2) 二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフに関する条件を満たすための必要十分条件を求めます。また、$a=2$, $bc=1$, $0<b<1$のとき、グラフと$y$軸の交点をA、グラフと$x$軸の交点をB,Cとして、三角形ABCの面積を$b$を用いて表します。

1. 問題の内容

問題は、確率の問題と二次関数の問題の2つに分かれています。

(1)

ある規則に従ってP地点から出発し、A地点またはB地点に到達する確率を求め、A,B,Cの到達した場合の点数から、ゲームで得られる点の期待値を求めます。

(2)

二次関数 $y=a(x-b)(x-c)$ のグラフに関する条件を満たすための必要十分条件を求めます。また、$a=2$, $bc=1$, $0<b<1$のとき、グラフと$y$軸の交点をA、グラフと$x$軸の交点をB,Cとして、三角形ABCの面積を$b$を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1)

(1) A地点に到達する確率

PからAに行くには、まず南に2回進み、次にサイコロを振って4以下の目が出れば良い。サイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。よって、A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$。

(2) B地点に到達する確率

PからBに行くには、まず南に1回進み、次にサイコロを振って4以下の目が出て東に進み、次に南に進む。サイコロの目が4以下である確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。よって、B地点に到達する確率は $\frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$。

しかし、一度Aに行ってしまうとゴールしてしまうため、確率の計算が異なります。

P地点から南に1回進む。

そこからA地点に行く確率は $\frac{2}{3}$

そこからB地点に行く確率は $\frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}$。

A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$。B地点に到達する確率は $\frac{1}{3}$。C地点に到達する確率は0。

ゲームで得られる点の期待値

A地点に到達した場合の点数は1点、B地点に到達した場合の点数は2点、C地点に到達した場合の点数は3点。

期待値 $E = 1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 3 \times 0 = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} + 0 = \frac{4}{3}$

(2)

(i) $G$が$x$軸と接するための必要十分条件は、判別式$D=0$であること。

$D = a^2(b+c)^2 - 4abc$

$a^2(b^2 + 2bc + c^2) - 4abc = 0$

$a^2b^2 + 2abc + a^2c^2 - 4abc = 0$

$b^2 - 2bc + c^2 = (b-c)^2 = 0$

したがって、$b = c$。

$G$が$x$軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$D>0$であること。

$b \neq c$。

(ii) $G$が$y$軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$y$切片 $>0$であること。

$y$切片$= a(-b)(-c) = abc$

したがって、$abc>0$

(2)

$a=2, bc=1, 0<b<1$のとき、$c = \frac{1}{b} > 1$

$y = 2(x-b)(x-\frac{1}{b})$

$y$軸との交点Aは$(0,2)$

$x$軸との交点Bは$(b,0)$、Cは$(\frac{1}{b}, 0)$

三角形ABCの面積$= \frac{1}{2} \times |b - \frac{1}{b}| \times 2 = |b-\frac{1}{b}| = \frac{1}{b}-b$ (∵ $0<b<1$)

3. 最終的な答え

(1)

(1) A地点に到達する確率は $\frac{2}{3}$。

(2) B地点に到達する確率は $\frac{1}{3}$。

ゲームで得られる点の期待値は $\frac{4}{3}$。

(2)

(i) $G$が$x$軸と接するための必要十分条件は、$b = c$ （選択肢2）。

$G$が$x$軸と異なる2点で交わるための必要十分条件は、$b \neq c$ （選択肢4）。

(ii) $G$が$y$軸の正の部分と交わるための必要十分条件は、$abc>0$ （選択肢7）。

(2)

三角形ABCの面積は $\frac{1}{b} - b$。