確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、および標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。ただし、$x$ は未知数です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率分布が与えられています。$X$ の期待値 $E(X)$、分散 $V(X)$、および標準偏差 $\sigma(X)$ を計算します。ただし、$x$ は未知数です。

2. 解き方の手順

まず、確率の合計が 1 であることから、$x$ の値を求めます。

与えられた確率の合計は、

$\frac{3}{20} + \frac{2}{20} + \frac{1}{20} + \frac{3}{20} + \frac{2}{20} + \frac{3}{20} + \frac{1}{20} + \frac{2}{20} + \frac{2}{20} + \frac{1}{20} = \frac{20}{20} = 1$

したがって、$X$ の取りうる値は、$x, 2x, 3, 5, 8, 13, 21, 44, 65, 109$ です。

期待値 $E(X)$ は次のように計算されます。

$E(X) = x\cdot \frac{3}{20} + 2x\cdot \frac{2}{20} + 3\cdot \frac{1}{20} + 5\cdot \frac{3}{20} + 8\cdot \frac{2}{20} + 13\cdot \frac{3}{20} + 21\cdot \frac{1}{20} + 44\cdot \frac{2}{20} + 65\cdot \frac{2}{20} + 109\cdot \frac{1}{20}$

$E(X) = \frac{3x}{20} + \frac{4x}{20} + \frac{3}{20} + \frac{15}{20} + \frac{16}{20} + \frac{39}{20} + \frac{21}{20} + \frac{88}{20} + \frac{130}{20} + \frac{109}{20}$

$E(X) = \frac{7x + 421}{20}$

次に、$E(X^2)$ を計算します。

$E(X^2) = x^2\cdot \frac{3}{20} + (2x)^2\cdot \frac{2}{20} + 3^2\cdot \frac{1}{20} + 5^2\cdot \frac{3}{20} + 8^2\cdot \frac{2}{20} + 13^2\cdot \frac{3}{20} + 21^2\cdot \frac{1}{20} + 44^2\cdot \frac{2}{20} + 65^2\cdot \frac{2}{20} + 109^2\cdot \frac{1}{20}$

$E(X^2) = \frac{3x^2}{20} + \frac{8x^2}{20} + \frac{9}{20} + \frac{75}{20} + \frac{128}{20} + \frac{507}{20} + \frac{441}{20} + \frac{3872}{20} + \frac{8450}{20} + \frac{11881}{20}$

$E(X^2) = \frac{11x^2 + 25363}{20}$

分散 $V(X)$ は次のように計算されます。

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$

$V(X) = \frac{11x^2 + 25363}{20} - (\frac{7x + 421}{20})^2$

$V(X) = \frac{11x^2 + 25363}{20} - \frac{49x^2 + 5894x + 177241}{400}$

$V(X) = \frac{220x^2 + 507260 - 49x^2 - 5894x - 177241}{400}$

$V(X) = \frac{171x^2 - 5894x + 330019}{400}$

標準偏差 $\sigma(X)$ は分散の平方根です。

$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\frac{171x^2 - 5894x + 330019}{400}}$

$x=1$の時

$E(X) = \frac{7(1) + 421}{20} = \frac{428}{20} = 21.4$

$V(X) = \frac{171(1)^2 - 5894(1) + 330019}{400} = \frac{324296}{400} = 810.74$

$\sigma(X) = \sqrt{810.74} \approx 28.47$

3. 最終的な答え

$E(X) = \frac{7x + 421}{20}$

$V(X) = \frac{171x^2 - 5894x + 330019}{400}$

$\sigma(X) = \sqrt{\frac{171x^2 - 5894x + 330019}{400}}$

$x=1$ の場合

$E(X) = 21.4$

$V(X) = 810.74$

$\sigma(X) = 28.47$ (近似値)