袋Aには赤球2個と白球1個が入っており、袋Bには赤球1個と白球3個が入っている。袋Aから1個の球を取り出して袋Bに入れ、よく混ぜた後、袋Bから1個の球を取り出して袋Aに入れる。このとき、以下の確率を求めよ。 (1) 袋Aの赤球の数が変わる確率 (2) 袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率

1. 問題の内容

袋Aには赤球2個と白球1個が入っており、袋Bには赤球1個と白球3個が入っている。袋Aから1個の球を取り出して袋Bに入れ、よく混ぜた後、袋Bから1個の球を取り出して袋Aに入れる。このとき、以下の確率を求めよ。

(1) 袋Aの赤球の数が変わる確率

(2) 袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率

2. 解き方の手順

(1) 袋Aの赤球の数が変わる確率

袋Aの赤球の数が変わるのは、

(i) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから白球を取り出す場合

(ii) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す場合

のいずれかである。

(i) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから白球を取り出す場合

袋Aから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。

袋Aから赤球を取り出した後の袋Bには、赤球1個、白球4個が入っている。

このとき、袋Bから白球を取り出す確率は $\frac{4}{5}$。

よって、この場合の確率は

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$

(ii) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す場合

袋Aから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

袋Aから白球を取り出した後の袋Bには、赤球2個、白球3個が入っている。

このとき、袋Bから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

よって、この場合の確率は

$\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$

したがって、袋Aの赤球の数が変わる確率は、

$\frac{8}{15} + \frac{2}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

(2) 袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率

袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなるのは、

(i) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す場合

袋Aから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。

袋Aから赤球を取り出した後の袋Bには、赤球0個、白球4個が入っている。

このとき袋Bの赤球は0個なので、袋Aの赤球が袋Bの赤球よりも多くなることはない。

(ii) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから白球を取り出す場合

袋Aから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

袋Aから白球を取り出した後の袋Bには、赤球2個、白球3個が入っている。

このとき袋Bから白球を取り出す確率は $\frac{3}{5}$。

よって、この場合の確率は

$\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$

袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率を求めるには、

(i) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す。袋Aの赤球は2個で、袋Bの赤球は0個となり、袋Aの赤球のほうが袋Bの赤球よりも多くなる。

(ii) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから白球を取り出す。袋Aの赤球は2個で、袋Bの赤球は1個となり、袋Aの赤球のほうが袋Bの赤球よりも多くなる。

(iii) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す。袋Aの赤球は1個で、袋Bの赤球は2個となり、袋Aの赤球のほうが袋Bの赤球よりも多くなることはない。

(iv) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから白球を取り出す。袋Aの赤球は1個で、袋Bの赤球は1個となり、袋Aの赤球のほうが袋Bの赤球よりも多くなることはない。

(I) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す場合

袋Aから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。

袋Aから赤球を取り出した後の袋Bには、赤球0個、白球4個が入っている。袋Bから赤球を取り出す確率は0。

この場合の確率は $\frac{2}{3} \times 0 = 0$。

(II) 袋Aから赤球を取り出し、袋Bから白球を取り出す場合

袋Aから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3}$。

袋Aから赤球を取り出した後の袋Bには、赤球0個、白球4個が入っている。袋Bから白球を取り出す確率は1。

袋Bから白球を取り出すと、袋Aには赤球2個、袋Bには赤球1個となるので条件を満たす。

この場合の確率は $\frac{2}{3} \times 1 = \frac{2}{3}$。

(III) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから赤球を取り出す場合

袋Aから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

袋Aから白球を取り出した後の袋Bには、赤球2個、白球3個が入っている。袋Bから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{5}$。

袋Bから赤球を取り出すと、袋Aには赤球1個、袋Bには赤球1個となるので条件を満たさない。

この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{15}$。

(IV) 袋Aから白球を取り出し、袋Bから白球を取り出す場合

袋Aから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。

袋Aから白球を取り出した後の袋Bには、赤球2個、白球3個が入っている。袋Bから白球を取り出す確率は $\frac{3}{5}$。

袋Bから白球を取り出すと、袋Aには赤球1個、袋Bには赤球2個となるので条件を満たさない。

この場合の確率は $\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{15}$。

袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率は、

$\frac{2}{3} * 0 + \frac{2}{3} * \frac{4}{5}=0 + \frac{8}{15}= \frac{8}{15}$

$\frac{1}{3}*\frac{2}{5} + \frac{1}{3} * \frac{3}{5}$

袋Aの赤球の数 - 袋Bの赤球の数 > 0

$\frac{2}{3} * 1 + \frac{1}{3} * 0= \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

(1) 袋Aの赤球の数が変わる確率は $\frac{2}{3}$

(2) 袋Aの赤球が袋Bの赤球より多くなる確率は $\frac{2}{5}$

$\frac{8}{15}$