袋の中に赤玉5個、白玉3個が入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。ただし、玉はすべて区別するものとする。 (1) 3個が同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。 (2) 少なくとも1個は白玉であるような取り出し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉5個、白玉3個が入っている。この中から同時に3個を取り出すとき、以下の問いに答えよ。ただし、玉はすべて区別するものとする。

(1) 3個が同じ色であるような取り出し方は何通りあるか。

(2) 少なくとも1個は白玉であるような取り出し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 3個が同じ色である場合

赤玉3個を取り出す場合:

赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_5C_3$ で計算できます。

$_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り

白玉3個を取り出す場合:

白玉3個から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_3C_3$ で計算できます。

$_3C_3 = \frac{3!}{3!0!} = 1$ 通り

よって、3個が同じ色である取り出し方は、$10 + 1 = 11$ 通りです。

(2) 少なくとも1個は白玉である場合

全体の場合の数から、白玉が1つも含まれない場合（つまり赤玉のみ3個を選ぶ場合）を引けば良い。

全体の場合の数：

赤玉5個と白玉3個の合計8個から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは $_8C_3$ で計算できます。

$_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り

白玉が1つも含まれない場合：

赤玉5個から3個を選ぶ組み合わせは、(1)で計算したように10通り。

よって、少なくとも1個は白玉である取り出し方は、$56 - 10 = 46$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 3個が同じ色である取り出し方は **11通り**。

(2) 少なくとも1個は白玉である取り出し方は **46通り**。