問題56と57について、それぞれの小問を解く。 問題56： (1) 10チームが総当たり戦を行うときの試合総数を求める。 (2) 1枚の硬貨を7回投げたとき、表がちょうど4回出る場合の数を求める。 問題57： 4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。 (1) $a > b > c > d$ を満たす $n$ の個数を求める。 (2) $a < b < c < d$ を満たす $n$ の個数を求める。

1. 問題の内容

問題56と57について、それぞれの小問を解く。

問題56：

(1) 10チームが総当たり戦を行うときの試合総数を求める。

(2) 1枚の硬貨を7回投げたとき、表がちょうど4回出る場合の数を求める。

問題57：

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。

(1) $a > b > c > d$ を満たす $n$ の個数を求める。

(2) $a < b < c < d$ を満たす $n$ の個数を求める。

2. 解き方の手順

問題56：

(1) 10チームから2チームを選ぶ組み合わせを考えれば良いので、組み合わせの公式を用いる。

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_{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45

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(2) 7回中4回表が出るということは、7回中4回の場所を選ぶ組み合わせを考えれば良いので、組み合わせの公式を用いる。

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_7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35

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問題57：

(1) $a, b, c, d$ はそれぞれ異なる数字で、$a > b > c > d$ であるから、$0$ から $9$ までの10個の数字の中から4個の数字を選べば、自動的に大小関係が決まる。従って、組み合わせの公式を用いる。

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_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210

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(2) $a, b, c, d$ はそれぞれ異なる数字で、$a < b < c < d$ である。

$a$ は千の位の数字なので、$0$ にはならない。よって、$1$ から $9$ までの数字の中から4個の数字を選び、小さい順に $a, b, c, d$ に割り当てれば良い。

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_9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126

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3. 最終的な答え

問題56：

(1) 45通り

(2) 35通り

問題57：

(1) 210個

(2) 126個