不良品率が0.1%の自動車生産工程から500台を取り出したとき、 (1) 不良品が入っていない確率を求めます。 (2) 不良品が3台以上入る確率を求めます。 ただし、確率は小数点第6位を四捨五入します。総台数$n=500$, 不良品率$p=0.001$ とおく。不良品の台数を確率変数$X$とおくと、$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。$n$は大きく、$p$は小さい値より、この$B(n,p)$は、平均$\mu = 0.5$のポアソン分布$P_o(0.5)$に近似できます。ポアソン分布の確率密度は、$P_p(x) = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$

1. 問題の内容

不良品率が0.1%の自動車生産工程から500台を取り出したとき、

(1) 不良品が入っていない確率を求めます。

(2) 不良品が3台以上入る確率を求めます。

ただし、確率は小数点第6位を四捨五入します。総台数$n=500$, 不良品率$p=0.001$ とおく。不良品の台数を確率変数$X$とおくと、$X$は二項分布$B(n, p)$に従う。$n$は大きく、$p$は小さい値より、この$B(n,p)$は、平均$\mu = 0.5$のポアソン分布$P_o(0.5)$に近似できます。ポアソン分布の確率密度は、$P_p(x) = e^{-0.5} \frac{0.5^x}{x!}$

2. 解き方の手順

(1) 不良品がない確率（不良品が0台である確率）を求めるには、ポアソン分布の確率密度式に$x=0$を代入します。

$P_p(0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5} \approx 0.606531$

(2) 不良品が3台以上入る確率を求めるには、余事象の確率$P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - P(X \leq 2)$を利用します。

$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$

$P(X=0) = e^{-0.5} \frac{0.5^0}{0!} = e^{-0.5}$

$P(X=1) = e^{-0.5} \frac{0.5^1}{1!} = 0.5 e^{-0.5}$

$P(X=2) = e^{-0.5} \frac{0.5^2}{2!} = \frac{0.25}{2} e^{-0.5} = 0.125 e^{-0.5}$

$P(X \leq 2) = e^{-0.5} + 0.5 e^{-0.5} + 0.125 e^{-0.5} = (1 + 0.5 + 0.125) e^{-0.5} = 1.625 e^{-0.5}$

$P(X \leq 2) \approx 1.625 \times 0.606531 \approx 0.985625$

$P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2) = 1 - 1.625 e^{-0.5} \approx 1 - 0.985625 \approx 0.014375$

3. 最終的な答え

(1) 不良品がない確率：0.606531

(2) 不良品が3台以上入る確率：0.014375

したがって、以下のようになります。

ア: 5

イ: 0

ウエオカキ: 0.606531

ク: 2

ケコ: 1.625

サ: 1.625

シスセソタ: 0.014375