確率変数 $X$ が、モーメント母関数 $M(\theta) = e^{3\theta + 8\theta^2}$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を求め、標準正規分布表を用いて、確率 $P(2 \le X \le 5)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が、モーメント母関数 $M(\theta) = e^{3\theta + 8\theta^2}$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を求め、標準正規分布表を用いて、確率 $P(2 \le X \le 5)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ のモーメント母関数は $M(\theta) = e^{\mu\theta + \frac{1}{2}\sigma^2\theta^2}$ で与えられる。

与えられたモーメント母関数 $M(\theta) = e^{3\theta + 8\theta^2}$ と比較すると、

$\mu = 3$

$\frac{1}{2}\sigma^2 = 8$

$\sigma^2 = 16$

したがって、平均 $\mu = 3$、分散 $\sigma^2 = 16$ である。

次に、確率変数 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 3}{4}$ を定義する。

$2 \le X \le 5$ のとき、

$\frac{2 - 3}{4} \le Z \le \frac{5 - 3}{4}$

$-\frac{1}{4} \le Z \le \frac{2}{4}$

$-0.25 \le Z \le 0.5$

よって、

$P(2 \le X \le 5) = P(-0.25 \le Z \le 0.5) = \Phi(0.5) - \Phi(-0.25)$

ここで、$\Phi(z)$ は標準正規分布の累積分布関数を表す。

$\Phi(-0.25) = 1 - \Phi(0.25)$ なので、

$P(-0.25 \le Z \le 0.5) = \Phi(0.5) - (1 - \Phi(0.25)) = \Phi(0.5) + \Phi(0.25) - 1$

標準正規分布表から、$\Phi(0.5) \approx 0.6915$、$\Phi(0.25) \approx 0.5987$ である。

したがって、

$P(2 \le X \le 5) \approx 0.6915 + 0.5987 - 1 = 1.2902 - 1 = 0.2902$

3. 最終的な答え

平均 $\mu = 3$

分散 $\sigma^2 = 16$

$P(2 \le X \le 5) \approx 0.2902$