確率変数 $X$ が正規分布 $N(4, 7)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (i) $P(X \le 9)$ (ii) $P(2 \le X \le 8)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(4, 7)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(i) $P(X \le 9)$

(ii) $P(2 \le X \le 8)$

2. 解き方の手順

まず、$X$ の平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ を求めます。正規分布 $N(4, 7)$ より、$\mu = 4$、分散は $7$ なので、標準偏差は $\sigma = \sqrt{7}$ となります。

次に、変数 $Z$ を標準化します。$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 4}{\sqrt{7}}$ とおきます。

(i) $X \le 9$ のとき、$Z \le \frac{9 - 4}{\sqrt{7}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$ となります。

したがって、$P(X \le 9) = P(Z \le \frac{5}{\sqrt{7}})$ です。

標準正規分布表を用いることを考えると、$P(Z \le \frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - P(Z \ge \frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - \phi(\frac{5}{\sqrt{7}})$ となります。ここで$\phi$は標準正規分布の累積分布関数です。

$\frac{5}{\sqrt{7}} \approx \frac{5}{2.645} \approx 1.89$. 標準正規分布表から $\phi(1.89)$ が約 0.9706 であると仮定すると、 $1 - 0.9706 = 0.0294$ となりますが、ここでは表を使っていることを想定した解答は求められていないようです。

(ii) $2 \le X \le 8$ のとき、$\frac{2 - 4}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{8 - 4}{\sqrt{7}}$ となります。

つまり、$-\frac{2}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{4}{\sqrt{7}}$ となります。

したがって、$P(2 \le X \le 8) = P(-\frac{2}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{4}{\sqrt{7}}) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - \phi(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - (1 - \phi(\frac{2}{\sqrt{7}})) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) + \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}) - 1$となります。

$P(2 \le X \le 8) = P(Z \le \frac{4}{\sqrt{7}}) - P(Z \le -\frac{2}{\sqrt{7}})$

$= \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - \phi(-\frac{2}{\sqrt{7}})$

$= \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - (1 - \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}))$

$= \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) + \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}) - 1$

$= 1 - (1 - \phi(\frac{4}{\sqrt{7}})) - (1 - \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}))$

$= 1 - P(Z \ge \frac{4}{\sqrt{7}}) - P(Z \ge \frac{2}{\sqrt{7}})$

3. 最終的な答え

(i) $P(X \le 9) = P(Z \le \frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - \phi(\frac{5}{\sqrt{7}})$

(ii) $P(2 \le X \le 8) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - \phi(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) + \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}) - 1 = 1 - P(Z \ge \frac{4}{\sqrt{7}}) - P(Z \ge \frac{2}{\sqrt{7}})$