1から9までの数字が書かれた9個の玉が入った袋から、いくつか玉を取り出す確率に関する問題です。 (1) 2個の玉を取り出したとき、最大値が7である確率を求めます。 (2) 3個の玉を取り出したとき、最大値が7以下である確率を求めます。 (3) 3個の玉を取り出したとき、最大値が5以上7以下である確率を求めます。 (4) k個の玉を取り出したとき、最大値が7である確率を $p_k$ とするとき、$p_k$ が最大となる k の値を求めます。

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9個の玉が入った袋から、いくつか玉を取り出す確率に関する問題です。

(1) 2個の玉を取り出したとき、最大値が7である確率を求めます。

(2) 3個の玉を取り出したとき、最大値が7以下である確率を求めます。

(3) 3個の玉を取り出したとき、最大値が5以上7以下である確率を求めます。

(4) k個の玉を取り出したとき、最大値が7である確率を $p_k$ とするとき、$p_k$ が最大となる k の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 最大値が7である確率

全事象は、9個から2個を取り出す組み合わせなので、$_9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ 通り。

最大値が7となるのは、7を必ず含み、もう1つは1から6までの数字である必要があります。

したがって、$_6C_1 = 6$ 通り。

確率は $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

(2) 最大値が7以下である確率

全事象は、9個から3個を取り出す組み合わせなので、$_9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ 通り。

最大値が7以下ということは、1から7までの数字から3個選ぶ組み合わせなので、$_7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

確率は $\frac{35}{84} = \frac{5}{12}$

(3) 最大値が5以上7以下である確率

全事象は、9個から3個を取り出す組み合わせなので、$_9C_3 = 84$ 通り。

最大値が5以上7以下であるということは、取り出した3個の玉の数字が全て5以上7以下であればよい。すなわち、5,6,7のいずれかから3個選ぶことになる。この場合の組み合わせは、$_3C_3=1$通り。

あるいは、最大値が4以下の場合を除いて、最大値が7以下である場合の数を計算する。つまり1から7までの数字から3個を選ぶ組み合わせから、1から4までの数字から3個を選ぶ組み合わせを除けば良い。

$_7C_3 - _4C_3 = 35 - 4 = 31$ 通り。

最大値が5,6,7のいずれかである場合を考える。

5が少なくとも1つ含まれ、最大値が5である場合。

5が少なくとも1つ含まれ、最大値が6である場合。

5,6,7が少なくとも1つずつ含まれ、最大値が7である場合。

これらの条件を満たす組み合わせの数は $_7C_3 - _4C_3$ で計算できる。

取り出した3個の玉の数字が全て5以上7以下であればよいので、$5,6,7$のいずれかから3個選ぶことになる。この場合の組み合わせは $_3C_3=1$通り。

あるいは、取り出した3個の玉の数字のうち少なくとも1つが5以上で、かつ最大値が7以下である場合を考える。取り出した3個の玉の数字が全て4以下である場合を除けば良い。つまり $_7C_3 - _4C_3$通り。

よって、確率は $\frac{35 - 4}{84} = \frac{31}{84}$

(4) $p_k$ が最大となる k の値

$p_k$ はk個の玉を取り出した時に最大値が7である確率です。

$p_k = \frac{_{6}C_{k-1}}{_{9}C_{k}} = \frac{6!/(k-1)!(7-k)!}{9!/k!(9-k)!} = \frac{6!k!(9-k)!}{(k-1)!(7-k)!9!} = \frac{k(9-k)!}{(7-k)!(9\times 8 \times 7)}$

$p_{k+1} = \frac{(k+1)(8-k)!}{(6-k)!9!}$

$p_{k+1}/p_k = \frac{(k+1)(8-k)!(7-k)!}{k(6-k)!(9-k)!} = \frac{(k+1)(8-k)}{k(7-k)}$

$\frac{(k+1)(8-k)}{k(7-k)} > 1$ となるkの範囲を求める。

$(k+1)(8-k) > k(7-k)$

$8k - k^2 + 8 - k > 7k - k^2$

$7k + 8 - k > 7k$

$6k + 8 > 7k$

$8 > k$

$k < 8$

$p_{k+1}/p_k < 1$ となるkの範囲は $k>8$

$p_1 < p_2 < p_3 < ... < p_8 > p_9$

したがって、$p_k$が最大となるのはk=8の時です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{5}{12}$

(3) $\frac{31}{84}$

(4) 8