正規分布 $N(4,7)$に従う確率変数$X$に対して、標準正規分布表を用いて、 (i) 確率 $P(X \le 9)$ および、 (ii) 確率 $P(2 \le X \le 8)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

正規分布 $N(4,7)$に従う確率変数$X$に対して、標準正規分布表を用いて、

(i) 確率 $P(X \le 9)$ および、

(ii) 確率 $P(2 \le X \le 8)$

を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$X$の平均$\mu$と標準偏差$\sigma$を求めます。正規分布$N(4,7)$より、$\mu = 4$、$\sigma^2 = 7$なので、$\sigma = \sqrt{7}$となります。

次に、変数$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 4}{\sqrt{7}}$とおいて、$X$を標準化します。

(i) $X \le 9$のとき、$Z \le \frac{9 - 4}{\sqrt{7}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$となります。

よって、$P(X \le 9) = P(Z \le \frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - P(Z \ge \frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - \phi(\frac{5}{\sqrt{7}}) = 1 - \phi(1.89)$となります。

標準正規分布表から$\phi(1.89) = 0.9706$なので、$P(X \le 9) = 1 - 0.9706 = 0.0294$となります。

(ii) $2 \le X \le 8$のとき、$\frac{2 - 4}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{8 - 4}{\sqrt{7}}$より、$-\frac{2}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{4}{\sqrt{7}}$となります。

よって、$P(2 \le X \le 8) = P(-\frac{2}{\sqrt{7}} \le Z \le \frac{4}{\sqrt{7}}) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - \phi(-\frac{2}{\sqrt{7}}) = \phi(\frac{4}{\sqrt{7}}) - (1 - \phi(\frac{2}{\sqrt{7}}))$となります。

$\frac{4}{\sqrt{7}} \approx 1.51$、$\frac{2}{\sqrt{7}} \approx 0.76$なので、$P(2 \le X \le 8) = \phi(1.51) - (1 - \phi(0.76))$となります。

標準正規分布表から$\phi(1.51) = 0.9345$、$\phi(0.76) = 0.7764$なので、$P(2 \le X \le 8) = 0.9345 - (1 - 0.7764) = 0.9345 - 0.2236 = 0.7109$となります。

3. 最終的な答え

(i) $P(X \le 9) = 0.9706$

(ii) $P(2 \le X \le 8) = 0.7109$

ア: 4

イ: 7

ウ: 5

エ: √7

オ: 5

カ: √7

キクケコ: 0.9706

サ: -2

シ: √7

ス: 4

セ: √7

ソタチツ: 0.7109