$X$ を離散型確率変数、$F(x)$ を $X$ の累積分布関数とするとき、$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ が成り立つ理由として適切な確率の公理の条件を選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$X$ を離散型確率変数、$F(x)$ を $X$ の累積分布関数とするとき、$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ が成り立つ理由として適切な確率の公理の条件を選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

累積分布関数 $F(x)$ は、$F(x) = P(X \le x)$ で定義されます。

$P(a < X \le b)$ は、$X$ が $a$ より大きく $b$ 以下である確率を表します。

これは、$X$ が $b$ 以下である確率から、$X$ が $a$ 以下である確率を引いたものと考えることができます。ただし、$X = a$の場合を除きます。

つまり、$P(a < X \le b) = P(X \le b) - P(X \le a)$ となります。

これは、$F(b) - F(a)$ に等しくなります。

選択肢を見てみましょう。

a. $P(A \sqcup B) = P(A) + P(B)$ は、$A$ と $B$ が互いに排反な事象である場合の確率の加法定理です。 これは直接、$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ が成り立つ理由を説明しません。

b. $P(U) = 1$, $P(\emptyset) = 0$ は、全事象の確率が1であり、空事象の確率が0であることを示しています。これも直接、$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ が成り立つ理由を説明しません。

c. $0 \le P(A) \le 1$ は、すべての事象 $A$ の確率が0以上1以下であることを示しています。これは確率の基本的な性質ですが、直接 $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ を説明するものではありません。ただし、$F(b) - F(a)$ も確率なので、0以上1以下の値を取る必要があります。

$P(a < X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a)$ が成り立つのは、累積分布関数の定義そのものから導かれます。選択肢の中で累積分布関数が確率の値の範囲が0から1の間にあることを保証するものが、cの $0 \le P(A) \le 1$であるため、最も適切であると考えられます。

3. 最終的な答え

c. すべての事象 $A \subset U$ に対して $0 \le P(A) \le 1$。