12本のくじの中に当たりくじが3本ある。A, B, Cの3人がこの順番にくじを引く。引いたくじは元に戻さない。A, B, Cが当たりくじを引く事象をそれぞれA, B, Cとする。以下の確率を求める。 (1) $P_A(B)$ (2) $P(A \cap B)$ (3) $P_{A \cap B}(C)$ (4) $P(A \cap B \cap \overline{C})$

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが3本ある。A, B, Cの3人がこの順番にくじを引く。引いたくじは元に戻さない。A, B, Cが当たりくじを引く事象をそれぞれA, B, Cとする。以下の確率を求める。

(1) $P_A(B)$

(2) $P(A \cap B)$

(3) $P_{A \cap B}(C)$

(4) $P(A \cap B \cap \overline{C})$

2. 解き方の手順

(1) $P_A(B)$は、Aが当たったという条件の下でBが当たる確率を表す。Aが当たったとき、残りのくじは11本で当たりくじは2本である。したがって、

$P_A(B) = \frac{2}{11}$

(2) $P(A \cap B)$は、AとBがともに当たる確率を表す。これは、$P(A) \times P_A(B)$で計算できる。

$P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$P_A(B) = \frac{2}{11}$

$P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{11} = \frac{2}{44} = \frac{1}{22}$

(3) $P_{A \cap B}(C)$は、AとBがともに当たったという条件の下でCが当たる確率を表す。AとBが当たったとき、残りのくじは10本で当たりくじは1本である。したがって、

$P_{A \cap B}(C) = \frac{1}{10}$

(4) $P(A \cap B \cap \overline{C})$は、AとBが当たり、Cが外れる確率を表す。

まず、$P(A \cap B \cap C)$を計算する。これは、$P(A) \times P_A(B) \times P_{A \cap B}(C)$で計算できる。

$P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$

$P_A(B) = \frac{2}{11}$

$P_{A \cap B}(C) = \frac{1}{10}$

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P_A(B) \times P_{A \cap B}(C) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{11} \times \frac{1}{10} = \frac{2}{440} = \frac{1}{220}$

次に、AとBが当たり、Cが外れる確率を考える。

$P(A \cap B) = \frac{1}{22}$であることはすでに計算済み。Cが当たるか外れるかは、$C$と$\overline{C}$なので、

$P(A \cap B \cap \overline{C}) = P(A \cap B) - P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{22} - \frac{1}{220} = \frac{10}{220} - \frac{1}{220} = \frac{9}{220}$

3. 最終的な答え

(1) $P_A(B) = \frac{2}{11}$

(2) $P(A \cap B) = \frac{1}{22}$

(3) $P_{A \cap B}(C) = \frac{1}{10}$

(4) $P(A \cap B \cap \overline{C}) = \frac{9}{220}$