3つの箱A, B, Cがあり、それぞれの箱に赤球と白球が入っている。 箱Aには赤球6個、白球4個、箱Bには赤球2個、白球6個、箱Cには赤球5個、白球15個が入っている。 (1) A, B, Cの中から無作為に1つの箱を選び、その中から1つの球を取り出すとき、取り出した球が赤球である確率を求めよ。 (2) A, B, Cの中から無作為に1つの箱を選び、その中から1つの球を取り出したところ、白球であった。このとき、選んだ箱がAである確率を求めよ。

1. 問題の内容

3つの箱A, B, Cがあり、それぞれの箱に赤球と白球が入っている。

箱Aには赤球6個、白球4個、箱Bには赤球2個、白球6個、箱Cには赤球5個、白球15個が入っている。

(1) A, B, Cの中から無作為に1つの箱を選び、その中から1つの球を取り出すとき、取り出した球が赤球である確率を求めよ。

(2) A, B, Cの中から無作為に1つの箱を選び、その中から1つの球を取り出したところ、白球であった。このとき、選んだ箱がAである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、箱A, B, Cを選ぶ確率はそれぞれ $\frac{1}{3}$ である。

箱Aを選んだときに赤球を取り出す確率は $\frac{6}{6+4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

箱Bを選んだときに赤球を取り出す確率は $\frac{2}{2+6} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

箱Cを選んだときに赤球を取り出す確率は $\frac{5}{5+15} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$

よって、取り出した球が赤球である確率は

$\frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6+5}{30} = \frac{11}{30}$

(2)

箱Aを選んだときに白球を取り出す確率は $\frac{4}{6+4} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

箱Bを選んだときに白球を取り出す確率は $\frac{6}{2+6} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

箱Cを選んだときに白球を取り出す確率は $\frac{15}{5+15} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

よって、取り出した球が白球である確率は

$\frac{1}{3} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{2}{15} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{15} + \frac{1}{2} = \frac{4+15}{30} = \frac{19}{30}$

求める確率は、取り出した球が白球であったという条件の下で、選んだ箱がAである条件付き確率である。

求める確率は

$\frac{\frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}{\frac{19}{30}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{19}{30}} = \frac{2}{15} \times \frac{30}{19} = \frac{4}{19}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{11}{30}$

(2) $\frac{4}{19}$