確率変数 $X$ が与えられており、$X = k$ となる確率が $P(X = k) = \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^{10}$ で与えられています。ここで、$k$ は 1 から 10 までの整数です。この確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が与えられており、$X = k$ となる確率が $P(X = k) = \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^{10}$ で与えられています。ここで、$k$ は 1 から 10 までの整数です。この確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ と分散 $V(X)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率変数 $X$ が二項分布に従うことを確認します。$n$ 回の独立な試行を行い、各試行で成功する確率が $p$ であるとき、$k$ 回成功する確率が $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ で表されます。今回の問題では、

$P(X=k) = \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^{k} (1-\frac{1}{2})^{10-k} = \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^{k} (\frac{1}{2})^{10-k} = \binom{10}{k} (\frac{1}{2})^{10}$

$X$ は二項分布 $B(n, p)$ に従うとみなせます。ただし、$n = 10$ であり、$p$ は $\frac{1}{2}$ です。

二項分布の期待値と分散はそれぞれ次のように求められます。

期待値: $E(X) = np$

分散: $V(X) = np(1-p)$

今回の問題では、$n = 10$、$p = \frac{1}{2}$ なので、期待値と分散は、

$E(X) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$

$V(X) = 10 \times \frac{1}{2} \times (1 - \frac{1}{2}) = 10 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

期待値: 5

分散: 5/2